[논문 리뷰] Permutations avoiding a pattern from $S_k$ and at least two patterns from $S_3$

Toufik Mansour|ArXiv.org|2000. 07. 31.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $S_n$ 내에서 $k \geq 3$에 대해 $S_k$의 패턴과 $S_3$에서 최소 두 개의 패턴을 피하는 순열의 수에 대해 명시적인 공식과 생성함수를 제공한다. 집합 $T \subseteq S_3$의 크기에 따라 경우를 분석함으로써 이러한 피하기 집합을系통적으로 분류하며, 생성함수와 원소 수의 닫힌 형태를 유도하고, $|T| \geq 2$ 및 $\tau \in S_4$인 경우 완전한 Wilf 분류를 도출한다. 그 결과, 이러한 순열의 수는 종종 일정하거나 선형, 피보나치, 또는 유리 생성함수 패턴을 따르는 것으로 드러났다.

ABSTRACT

In this paper, we find explicit formulas or generating functions for the cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ of all permutations in $S_n$ that avoid a pattern $τ\in S_k$ and a set $T$, $|T|\geq 2$, of patterns from $S_3$. The main body of the paper is divided into three sections corresponding to the cases $|T|=2,3$ and $|T|\geq 4$. As an example, in the fifth section, we obtain the complete classification of all cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ for $k=4$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 패턴 $\tau \in S_k$ (단, $k \geq 3$)와 $|T| \geq 2$인 $T \subseteq S_3$를 동시에 피하는 순열 집합 $S_n(T,\tau)$의 정확한 원소 수를 결정하는 것.
• 특히 $\tau \in S_4$인 경우, Wilf 동치에 따라 이러한 피하기 집합을 분류하고 Wilf 클래스의 완전한 열거를 제공하는 것.
• 재귀적 구조와 행렬 행렬식 항등식을 이용하여 수열 $|S_n(T,\tau)|$의 명시적 생성함수를 도출하는 것.
• $|T| \geq 4$인 경우 Wilf 분류를 해결하여 이러한 순열의 수가 일정하거나 간단한 닫힌 형태를 따른다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• $\alpha \in S_n(T,\tau)$ 내에서 가장 큰 원소 $n$의 위치에 기반한 재귀적 분해를 사용하여, $a_\tau(n) = |S_n(T,\tau)|$에 대한 재귀 관계를 도출한다.
• 레마 1에 제시된 행렬 행렬식 항등식을 적용하여 생성함수 $a_\tau(x)$를 $f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$ 및 $g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$를 항으로 가지는 하단 헤센버그 행렬의 행렬식으로 표현한다.
• $|T| = 2,3$인 $T \subseteq S_3$의 각 경우에 대해 $\tau \in S_k(T)$의 구조를 특성화하며, $\tau$가 감소하는 수열들의 연결임을 보여준다.
• $|T| \geq 4$인 경우, Simion과 Schmidt의 결과를 활용하여 $|S_n(T)| \in \{0,2\}$임을 이용하고, $123$ 또는 $321$이 $T$에 포함되는지에 따라 경우를 분석하여 크로네커 델타를 포함하는 공식을 도출한다.
• 재귀 관계를 행렬 방정식으로 변환하고 행렬식 전개를 통해 생성함수 표현을 유도한다.
• 표 1의 분류는 모든 경우의 결과를 통합하고 서로 다른 $T$ 및 $\tau$ 간의 원소 수를 비교함으로써 수립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 패턴 $\tau \in S_k$와 $|T| \geq 2$인 $T \subseteq S_3$를 동시에 피하는 $S_n$ 내 순열의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ2 $|S_n(T,\tau)|$의 생성함수는 $\tau$의 구조와 $T$의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 $\tau \in S_4$인 경우, 쌍 $(T,\tau)$의 완전한 Wilf 클래스는 무엇이며, 그 원소 수는 어떻게 변하는가?
• RQ4 $|S_n(T,\tau)|$는 모든 이러한 $T$ 및 $\tau$에 대해 닫힌 형태 공식 또는 유리 생성함수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 $|T| \geq 4$일 때 $|S_n(T,\tau)|$의 행동은 어떻게 되며, $T$에 $123$ 또는 $321$이 포함되는지에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 모든 $T = \{123,132\}$ 및 $\tau \in S_k(T)$에 대해 생성함수 $a_\tau(x)$는 $f_{r_i}(x)$ 및 $g_{r_i}(x)$를 항으로 가지는 행렬의 행렬식으로 주어지며, $f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$ 및 $g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$이다.
• 모든 $n \geq k$ 및 $\tau = (r,\dots,2,1,k,\dots,r+1)$ (단, $1 \leq r \leq k-1$)에 대해 $T = \{123,231,312\}$일 때 $|S_n(T,\tau)| = k-1$이다.
• 모든 $n \geq k$ 및 $\tau = (k,\dots,r+1,1,2,\dots,r)$ (단, $1 \leq r \leq k$)에 대해 $T = \{132,213,231\}$일 때 $|S_n(T,\tau)| = k-1$이다.
• $|T| \geq 4$일 때, $T$에 $123$이나 $321$이 포함되어 있지 않다면 $|S_n(T,\tau)| = 2 - \delta_{\tau,(1,2,\dots,k)} - \delta_{\tau,(k,\dots,2,1)}$이고, 둘 다 포함되어 있으면 $0$이다.
• 논문은 $T \subseteq S_3$ 및 $\tau \in S_4$인 22개의 Wilf 클래스를 완전히 분류하였으며, 표 1에 요약되어 있다.
• $T = \{123,132,213,231,1234\}$일 때 $|S_n(T,\tau)| = 2$이며, $T = \{123,132,213,231,4312\}$일 때는 $1$이다.