[논문 리뷰] Phase retrieval: an overview of recent developments

Kishore Jaganathan, Yonina C. Eldar외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 26.

X-ray Diffraction in Crystallography참고 문헌 74인용 수 124

한 줄 요약

이 논문은 단일 및 현대적 방법을 포함한 단계 복원 분야의 최근 발전을 종합적으로 개괄한다. 이는 희소 복원, 마스크 기반 접근법, 그리고 단기 푸리에 변환(STFT) 기법을 포함한다. 이 논문은 이론적 유일성 결과, Wirtinger Flow 및 정수형 프로그래밍(SDP)과 같은 알고리즘적 발전, 그리고 수치적 검증을 통합하여 광학, 신호 처리 및 계산 영상 분야의 연구자들에게 통합된 참고 자료를 제공한다.

ABSTRACT

Contents Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Classic Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Recent Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Sparse Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Phase Retrieval Using Masks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Uniqueness and Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275SDP Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Wirtinger Flow Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Combinatorial Methods (for the Noiseless Setting) . . . . . . . . . . . . . . . . 278Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 STFT Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Nonvanishing Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Sparse Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Introduction In many physical measurement systems, one can only measure the power spectral density, that is, the magnitude square of the Fourier transform of the underlying signal. For example, in an optical setting, detection devices like CCD cameras and photosensitive films cannot measure the phase of a light wave and instead measure the photon flux. In addition, at a large enough distance from the imaging plane the field is given by the Fourier transform of the image (up to a known phase factor). Thus, in the far field, optical devices essentially measure the Fourier transform magnitude. Since the phase encodes a lot of the structural content of the image, important information is lost. The problem of reconstructing a signal from its Fourier magnitude is known as phase retrieval [1,2]. This reconstruction problem is one with a rich history and arises in many areas of engineering and applied physics, including optics [3], x-ray crystallography [4], astronomical imaging [5], speech processing [6], computational biology [7], and blind deconvolution [8].

연구 동기 및 목표

• 다양한 과학 및 공학 분야에서의 최근 이론적 및 알고리즘적 발전을 통합하고 분석하기 위해.
• 광학, 결정학, 음성 처리에서 발생하는 신호의 푸리에 변환의 크기만으로 신호를 복원하는 문제와 같은 근본적인 과제를 해결하기 위해.
• 특히 희소 신호 및 비영 신호 설정에서 유일한 복원이 가능한 조건을 검토하기 위해.
• Wirtinger Flow 및 SDP 기반 솔버와 같은 현대 알고리즘의 성능 및 수렴 성질을 평가하기 위해.
• 노이즈가 없는 경우와 노이즈가 있는 경우 모두에서 수치 시뮬레이션을 통해 방법들을 체계적으로 비교하기 위해.

제안 방법

• 반복적 투영 및 오차 감소 알고리즘에 기반한 고전적 단계 복원 기법을 검토한다.
• 변환 도메인에서의 신호 희소성을 활용하기 위해 ℓ1 정규화를 통합함으로써 희소 단계 복원을 도입한다.
• 여러 개의 코딩된 마스크를 사용하여 추가 측정치를 생성하고 유일성을 향상시키는 마스크 기반 단계 복원을 분석한다.
• 비볼록 단계 복원 문제를 볼록 최적화 문제로 변환하기 위해 정수형 프로그래밍(SDP)의 완화 기법을 적용한다.
• 일부 조건 하에서 이론적 수렴 보장을 갖는 비볼록 최적화 방법인 Wirtinger Flow 알고리즘을 활용한다.
• 정확한 복원을 위해 대수적 및 그래프 이론적 구조를 활용하는 조합적 방법을 노이즈가 없는 단계 복원에 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영 신호 또는 희소 신호에 대해 단계 복원 문제가 어떤 조건에서 유일하게 해결 가능한가?
• RQ2 Wirtinger Flow 및 SDP 기반 솔버와 같은 현대 알고리즘은 수렴 속도와 노이즈에 대한 강건성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 코딩된 마스크는 단계 복원에서 유일성과 안정성을 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 신호 모델의 선택(예: 희소, 비영)은 단계 복원 알고리즘의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 STFT 도메인에서 단계 복원의 이론적 및 경험적 한계는 무엇이며, 푸리에 기반 방법과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 비영 신호의 경우나 측정 시스템에서 충분한 비일관성이 확보된 희소 신호의 경우, 단계 복원의 유일성이 온건한 조건 하에서 보장된다.
• 적절한 샘플링 조건 하에서 Wirtinger Flow 알고리즘이 높은 확률로 진짜 신호로 전역 수렴을 달성한다.
• SDP 기반 방법은 노이즈가 없는 설정에서는 정확한 복원을 제공하고, 노이즈가 있는 경우에도 안정적인 복원을 보이지만, 계산 비용이 더 높다.
• 마스크 기반 단계 복원은 측정치의 구조적 다양성을 도입하여 유일성 향상과 오류 감소에 크게 기여한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 희소 단계 복원 방법이 낮은 신호 대 잡음 비율 환경에서 기존 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• STFT 기반 단계 복원은 시간-주파수 국소화된 신호의 복원을 가능하게 하며, 특히 희소성 제약 조건과 결합할 경우 더 뛰어난 강건성을 확보한다.