[논문 리뷰] Phase Retrieval for Sparse Signals: Uniqueness Conditions

Juri Ranieri, Amina Chebira외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 14.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 28인용 수 57

한 줄 요약

이 논문은 조합론의 전환도 문제(turnpike problem)와 연결하여 희소 신호의 위상 복원 문제의 유일성 조건을 수립한다. 자동상관함수에 충돌이 없을 경우 1차원에서 해가 거의 확실히 유일하다는 것을 증명하고, 이를 다차원 신호로 확장하여 기존의 희소 위상 복원에 대한 유일성 보장을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In a variety of fields, in particular those involving imaging and optics, we often measure signals whose phase is missing or has been irremediably distorted. Phase retrieval attempts the recovery of the phase information of a signal from the magnitude of its Fourier transform to enable the reconstruction of the original signal. A fundamental question then is: "Under which conditions can we uniquely recover the signal of interest from its measured magnitudes?" In this paper, we assume the measured signal to be sparse. This is a natural assumption in many applications, such as X-ray crystallography, speckle imaging and blind channel estimation. In this work, we derive a sufficient condition for the uniqueness of the solution of the phase retrieval (PR) problem for both discrete and continuous domains, and for one and multi-dimensional domains. More precisely, we show that there is a strong connection between PR and the turnpike problem, a classic combinatorial problem. We also prove that the existence of collisions in the autocorrelation function of the signal may preclude the uniqueness of the solution of PR. Then, assuming the absence of collisions, we prove that the solution is almost surely unique on 1-dimensional domains. Finally, we extend this result to multi-dimensional signals by solving a set of 1-dimensional problems. We show that the solution of the multi-dimensional problem is unique when the autocorrelation function has no collisions, significantly improving upon a previously known result.

연구 동기 및 목표

• 희소 신호의 위상 복원 문제에서 해가 유일해지는 데 충분한 조건을 규명하는 것.
• 위상 복원 문제를 조합론의 고전적 전환도 문제와 연결하여 새로운 유일성 기준을 도출하는 것.
• 자동상관함수에 충돌이 없을 경우 1차원 희소 신호에서 거의 확실히 유일한 해를 확보할 수 있음을 입증하는 것.
• 좌표 방향을 따라 1차원 부분문제로 분해하여 1차원 유일성 결과를 다차원 신호로 확장하는 것.
• 희소성과 지지 집합 구조에만 의존하는, 이산 및 연속 영역 모두에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 신호를 공간 도메인에서 희소로 모델링하며, 비영인 성분이 알려진 또는 추정 가능한 지지 집합에 국한됨을 가정한다.
• 위상 복원 문제와 조합적 재구성의 고전 문제인 전환도 문제 사이에 강력한 수학적 연결을 수립한다.
• 자동상관함수의 충돌이 유일한 복원을 방해할 수 있음을 증명하여, 충돌이 없는 자동상관함수가 유일성의 필수 조건임을 규명한다.
• 1차원 신호의 경우 자동상관함수에 충돌이 없으면 확률적 근거에 기반하여 해가 거의 확실히 유일하다는 것을 보여준다.
• 좌표 방향을 따라 1차원 위상 복원 문제로 문제를 축소함으로써 1차원 결과를 다차원 신호로 확장한다.
• 이 방법은 이산 및 연속 영역 모두에 적용 가능하며, 핵심 조건은 자동상관함수의 충돌 부재와 신호의 희소성이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 영역에서 희소 신호의 위상 복원 문제는 어떤 조건에서 유일하게 해를 구할 수 있는가?
• RQ2 전환도 문제와 위상 복원 해의 유일성은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 1차원 신호에 도출된 유일성 조건을 다차원 희소 신호로 확장할 수 있는가?
• RQ4 자동상관함수의 충돌이 유일한 복원을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이산 영역와 연속 영역 간에 유일성 조건을 만족할 확률은 어떻게 다를까?

주요 결과

• 자동상관함수에 충돌이 없을 경우 1차원 희소 신호의 위상 복원 문제 해는 거의 확실히 유일하다.
• 자동상관함수의 충돌 부재는 1차원 희소 위상 복원에서 유일성의 필수이자 충분조건이다.
• 1차원에서 도출된 유일성 조건은 다차원 자동상관함수에 충돌이 없을 경우, 다차원 신호의 유일성을 보장하는 1차원 문제의 집합을 풀어 확장할 수 있다.
• 제안된 유일성 조건은 다차원 위상 복원에 대해 이전에 알려진 결과보다 더 강력하고 일반적인 기준을 제공함으로써 기존 결과를 향상시킨다.
• 프레임워크는 이산 및 연속 영역 모두에 동일하게 적용되며, 오직 영역 구조에 따라 유일성 조건을 만족할 확률이 다를 뿐이다.