[논문 리뷰] Phase Retrieval of Real-Valued Signals in a Shift-Invariant Space

Yang Chen, Cheng Cheng외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 04.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 44인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이동 불변 공간 내 실수 신호의 위상 복원 조건을 설정하며, 비분리 신호가 부호를 제외하고 유일하게 복원 가능하다는 것을 증명한다. 노이즈가 있는 위상 없는 샘플로부터 신호를 재구성하는 데 안정적이고 분산된 알고리즘을 제안하며, 스퍼플라인 신호의 경우 최소 $2N-1$의 샘플링 속도로도 가능하며, 오차 범위는 노이즈 수준과 신호 파rameter에 따라 달라진다.

ABSTRACT

Phase retrieval arises in various fields of science and engineering and it is well studied in a finite-dimensional setting. In this paper, we consider an infinite-dimensional phase retrieval problem to reconstruct real-valued signals living in a shift-invariant space from its phaseless samples taken either on the whole line or on a set with finite sampling rate. We find the equivalence between nonseparability of signals in a linear space and its phase retrievability with phaseless samples taken on the whole line. For a spline signal of order $N$, we show that it can be well approximated, up to a sign, from its noisy phaseless samples taken on a set with sampling rate $2N-1$. We propose an algorithm to reconstruct nonseparable signals in a shift-invariant space generated by a compactly supported continuous function. The proposed algorithm is robust against bounded sampling noise and it could be implemented in a distributed manner.

연구 동기 및 목표

• 이동 불변 공간 내 실수 신호가 위상 없는 샘플로부터 언제 유일하게 복원 가능한지 특성화하기.
• 유한한 샘플링 노이즈 하에서 비분리 신호에 대해 안정적이고 분산 가능한 재구성 알고리즘 개발하기.
• 콤���트 지지 연속 생성자로 생성된 이동 불변 공간 내에서 위상 복원을 위한 최소 샘플링 속도 규명하기.
• 유한 차원 위상 복원 결과를 스퍼플라인 신호에 특히 적용하여 무한 차원 설정으로 확장하기.
• 이동 불변 공간 내에서 노이즈 있는 크기 측정치 하에서 위상 복원의 안정성 분석하기.

제안 방법

• 이동 불변 공간 내 신호가 부호를 제외하고 위상 복원 가능하다는 것은 비분리적일 때, 즉 서로 겹치지 않는 지지 집합을 가진 두 신호의 합이 아닐 때에만 성립함을 증명한다.
• 스퍼플라인 신호의 경우, $2N-1$의 샘플링 속도로 위상 없는 샘플을 통해 위상 복원 가능함을 입증하며, 특히 $(0,1)$ 내에 $2N-1$개의 서로 다른 점을 가진 $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 에서의 샘플링을 고려한다.
• 신호를 분할하고 계수를 반복적으로 추정함으로써 노이즈가 있는 위상 없는 샘플로부터 신호를 재구성하는 MEPS 알고리즘(다중 척도 추정 및 위상 합성)을 제안한다.
• 중첩된 윈도우를 사용한 블록 단위 계수 추정 전략을 통해 안정성을 확보하며, 생성자 성질에서 유도된 $N \times N$ 행렬 $\Phi_N$ 의 역행렬 가능성을 활용한다.
• 귀납법과 내적 분석을 적용하여 추정된 계수와 진짜 계수 간 오차를 유계로 제한하며, $\ell^2$-오차가 노이즈 수준 $|\boldsymbol{\epsilon}|$ 에 따라 감소함을 보여준다.
• 중첩 영역에서의 부호 일致성을 활용하여 세그먼트 간 전역 부호를 조정함으로써 신호의 정확한 전역 부호를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불변 공간 내 실수 신호가 크기 측정치로부터 언제 유일하게 복원 가능한가?
• RQ2 콤팩트 지지 연속 함수로 생성된 이동 불변 공간 내 비분리 신호는 $2N-1$ 이하의 샘플링 속도로 위상 없는 샘플로부터 재구성 가능한가?
• RQ3 스퍼플라인 신호의 순서 $N$ 에 대해 안정적인 위상 복원을 위한 최소 샘플링 속도는 얼마인가?
• RQ4 크기 측정치에서 유한한 덧셈 노이즈에 대해 위상 복원이 어떻게 강건하게 유지될 수 있는가?
• RQ5 무한 차원 신호에 대해 위상 복원 과정을 분산형으로 확장 가능하게 구현할 수 있는가?

주요 결과

• 실수 신호 $f \in V(\phi)$ 는 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 $|f(t)|$ 로부터 복원 가능할 조건은 비분리적일 때, 즉 서로 겹치지 않는 지지 집합을 가진 두 비영 신호의 합으로 분해될 수 없을 때에만 성립한다.
• 스퍼플라인 신호의 경우, $2N-1$의 샘플링 속도로 위상 없는 샘플을 통해 위상 복원 가능하며, 특히 $(0,1)$ 내에 $2N-1$개의 서로 다른 점을 가진 $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 에서의 샘플링을 고려한다.
• 제안된 MEPS 알고리즘은 노이즈가 있는 위상 없는 샘플로부터 $V(\phi)$ 내 비분리 신호를 재구성하며, $\ell^2$-오차가 $C \sqrt{|\boldsymbol{\epsilon}|}$ 이하로 유계로 제한된다. 여기서 $C$ 는 $\|\Phi_N^{-1}\|$, $C_{f,\phi}$, $N$ 에 의존하며, $|\boldsymbol{\epsilon}|$ 은 노이즈 수준이다.
• 알고리즘은 유한한 샘플링 노이즈 하에서도 강건하며, 중첩된 신호 세그먼트에 걸쳐 분산 방식으로 구현 가능하다.
• 선형 스퍼플라인($N=2$)의 경우, 비균일 집합 $Y_\infty = X \cup (\Gamma + \mathbb{Z}_+) \cup (\Gamma^* + \mathbb{Z}_-)$ 에서 샘플링 속도 2로 위상 복원 가능하며, $X$ 는 $2N-1=3$개의 점을 포함한다.
• 중첩된 계수 추정치 간 부호 일치를 확보함으로써 전역 부호를 복원하며, 최종 오차 유계는 노이즈 감소에 따라 $\ell^2$-수렴을 보여준다.