[논문 리뷰] Phaseless Sampling and Linear Reconstruction of Functions in Spline Spaces

Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 14.

Optical measurement and interference techniques참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 균일하지 않은 균일한 B-스플라인으로 생성된 실수 및 복소 스플라인 공간 내 함수의 위상 없음 샘플링 및 선형 복원을 위한 必요하고 충분한 조건을 설정한다. 복소 스플라인 공간에서는 $ f $ 와 $ \overline{f} $ 간의 모호성으로 인해 전체 위상 복원이 불가능하지만, 제곱 크기 $ |f(x)|^2 $ 는 샘플링 강도로부터 유일하고 선형적으로 복원 가능하며, 유한 차원 선형 대수를 통한 명시적 복원 공식과 안정성 보장이 가능하다.

ABSTRACT

We study phaseless sampling in spline spaces generated by B-splines with arbitrary knots. For real spline spaces, we give a necessary and sufficient condition for a sequence of sampling points to admit a local phase retrieval of any nonseparable function. We also study phaseless sampling in complex spline spaces and illustrate that phase retrieval is impossible in this case. Nevertheless, we show that phaseless sampling is possible. For any function $f$ in a complex spline space, no mater it is separable or not, we show that $|f(x)|^2$ is uniquely determined and can be recovered linearly from its sampled values at a well chosen sequence of sampling points. We give necessary and sufficient conditions for such sequences.

연구 동기 및 목표

• 비분리 함수의 국소적 복원 조건을 부호를 제외하고 실수 스플라인 공간 내에서 위상 없음 샘플링 수열로 특성화하는 것.
• 복소 스플라인 공간에서 위상 복원이 가능한지 조사하는 것. 여기서 $ f $ 와 $ \overline{f} $ 는 동일한 강도 측정값을 유도한다.
• 복소 스플라인 공간 내에서 샘플링 강도 값으로부터 $ |f(x)|^2 $ 가 선형적으로 복원 가능한 조건을 설정하는 것.
• 실수 및 복소 설정 모두에서 선형 샘플링 수열을 통한 명시적 복원 공식 제공 및 안정성 증명.

제안 방법

• 위상 없음 샘플링 수열을 정의하여, 부호를 제외한 비분리 함수를 비부호 샘플 $ |f(x_n)| $ 로 유일하게 결정할 수 있도록 하는 것.
• 임의의 균일하지 않은 균일한 균일한 B-스플라인 기저 함수와 변수 다중성을 사용하여 스플라인 공간 $ \mathcal{V}_m $ 과 $ \mathcal{W}_m $ 를 모델링하는 것.
• 공간 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 의 차원을 $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $ 로 특성화하는 것. 여기서 $ m_i $ 는 점 $ t_i $ 에서의 다중성이다.
• 공간 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 에 대한 기저 $ \mathcal{P}_k $ 를 구성하는 것으로, 각 구간 $ (t_i, t_{i+1}) $ 에서 최대 차수 $ 2m $ 의 다항식이며, 고리점에서 연속성 및 부드러움 조건을 만족하는 것.
• 복원을 선형 시스템으로 설정: $ F = \Phi c $, 여기서 $ F $ 는 샘플링된 $ |f(x_n)|^2 $ 를 포함하고, $ \Phi $ 는 기저 평가 값의 행렬이며, $ c $ 는 $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ 를 통해 해를 구한다.
• 샘플링된 강도 값으로부터 $ |f(x)|^2 $ 를 복원하는 공식: $ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $, 여기서 $ S_n(x) $ 는 $ \Phi (\Phi^t \Phi)^{-1} (h_1, \dots, h_{M_k})^t $ 로 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 샘플링 수열 $ \{x_n\} $ 에 어떤 조건이 성립하면 실수 스플라인 공간 내 비분리 함수의 국소적 위상 없음 복원(부호를 제외하고)이 가능할까?
• RQ2 복소 스플라인 공간에서, $ f $ 와 $ \overline{f} $ 가 동일한 강도 데이터를 유도하므로 위상 복원이 가능한가?
• RQ3 복소 스플라인 공간 내에서 위상 없음 샘플로부터 $ |f(x)|^2 $ 를 선형적으로 복원할 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 공간 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 의 차원은 얼마이며, 이는 고리점 수열과 다중성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 샘플링된 강도 값으로부터 $ |f(x)|^2 $ 의 명시적 선형 복원 공식을 어떻게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 실수 스플라인 공간에서는 샘플링 수열 $ \{x_n\} $ 이 비분리 함수의 국소적 위상 없음 복원(부호를 제외하고)을 가능하게 하기 위한 필요충분조건은 해당 행렬 $ \Phi $ 가 차원 $ M_k $ 의 최대 열 질량을 가지는 것이다. 여기서 $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $ 이다.
• 복소 스플라인 공간 $ \mathcal{W}_m $ 에서는 위상 복원이 불가능하다. 왜냐하면 강도 측정만으로는 $ f $ 와 $ \overline{f} $ 를 구분할 수 없기 때문이다.
• 그러나 샘플링 수열이 실수 경우와 동일한 질량 조건을 만족하는 한, $ |f(x)|^2 $ 는 샘플링된 값 $ |f(x_n)|^2 $ 로부터 유일하고 선형적으로 복원 가능하다.
• 공간 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 는 차원 $ M_k $ 를 가지며, 수정된 고리점 다중성 $ \tilde{m}_i = m + m_i $ 를 가진 $ 2m $ 차수 B-스플라인 공간과 등장성(isomorphic)이다.
• 복원은 안정적이고 선형적이다: $ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $, 여기서 $ S_n $ 는 샘플링 행렬 $ \Phi $ 의 의사역행렬을 통해 계산 가능하다.
• 복원 공식은 기저 함수 $ h_i $ 를 사용하여 명시적으로 유도되었으며, 계수 $ c $ 는 $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ 를 통해 해를 구함으로써 유일성과 안정성이 보장된다.