[논문 리뷰] Piecewise Analytic Subactions for Analytic Dynamics

Gonzalo Contreras, Artur O. Lopes외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조각별 해석적 확장 사상에서 해석적 퍼텐셜 β log g에 관련된 루엘 연산자에 대한 고유함수 φ_β의 渐近적 행동을 조사한다. 유일성 및 일반성 조건 하에서, β → ∞ 일 때 1/β log φ_β의 극한이 조화된 하향작용(subaction)임을 증명하며, 이 하향작용은 해석적일 수는 있으나 항상 해석적이지는 않으며, 해석성은 최대화 확률 측도의 지지에 따라 달라진다.

ABSTRACT

We consider a piecewise analytic expanding map f: [0,1]-> [0,1] of degree d which preserves orientation, and an analytic positive potential g: [0,1] -> R. We address the analysis of the following problem: for a given analytic potential beta log g, where beta is a real constant, it is well known that there exists a real analytic (with a complex analytic extension to a small complex neighborhood of [0,1]) eigenfunction phi_beta for the Ruelle operator. One can ask: what happen with the function phi_beta, when beta goes to infinity. The domain of analyticity can change with beta. The correct question should be: is 1/ beta log phi_beta analytic in the limit, when beta goes to infinity ? Under a uniqueness assumption, this limit, when beta goes to infinity, is in fact a calibrated subaction V (see bellow definition). We show here that under certain conditions and for a certain class of generic potentials this continuous function is piecewise analytic (but not analytic). In a few examples one can get that the subaction is analytic (we need at least to assume that the maximizing probability has support in a unique fixed point).

연구 동기 및 목표

• 루엘 연산자에 대한 고유함수 φ_β의 β → ∞ 일 때의 극한 행동을 이해하는 것.
• 스케일 조정된 로그 1/β log φ_β가 조화된 하향작업 V로 수렴하는지 확인하는 것.
• 해석적 퍼텐셜 및 확장 사상 조건 하에서 극한 하향작업 V의 정규성(regularity)을 조사하는 것.
• V가 완전히 해석적이지 않고 조각별 해석적임을 보이는 조건을 설정하는 것.
• 최대화 확률 측도의 지지가 하향작업 V의 해석성 결정에 미치는 역할을 탐구하는 것.

제안 방법

• 구간 [0,1]에서 차수 d의 조각별 해석적 확장 사상에 대해 해석적 함수에 작용하는 루엘 연산자를 분석한다.
• 해석적 양의 퍼텐셜 g와 관련된 루엘 연산자 고유함수 φ_β(β log g)를 고려한다.
• φ_β를 [0,1]의 복소근방에서 연구하기 위해 복소해석적 확장을 적용한다.
• 수렴 보장을 위해 유일성 가정을 도입하여 1/β log φ_β가 유일한 조화된 하향작업 V로 수렴하도록 한다.
• 열역학적 형식 및 하향작업 이론 기법을 활용해 V의 정규성 분석한다.
• 최대화 확률 측도의 지지 구조를 분석함으로써 V의 구조를 조사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 β → ∞ 일 때 극한 1/β log φ_β가 존재하고 조화된 하향작업으로 수렴하는가?
• RQ2 극한 하향작업 V가 해석적이지 않고 조각별 해석적일 조건은 무엇인가?
• RQ3 최대화 확률의 지지가 하향작업 V의 해석성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 최대화 측도의 지지가 다수의 점에 걸쳐 있을 때조차 V가 해석적일 수 있는가?
• RQ5 퍼텐셜의 일반성(geneticity)이 V의 정규성 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유일성 가정 하에 β → ∞ 일 때 극한 1/β log φ_β는 조화된 하향작업 V로 수렴한다.
• 극한 하향작업 V는 조각별 해석적이나, 항상 전체 구간 [0,1]에서 해석적이지는 않다.
• 최대화 확률 측도의 지지가 고정점 하나에만 있을 때에만 V의 해석성이 보장된다.
• 일반적인 퍼텐셜 조건 하에서, V는 특정 점에서 도함수의 불연속성으로 인해 조각별 해석적 구조를 띤다.
• φ_β의 해석적 정의역은 β에 따라 변할 수 있으나, 극한 행동은 잘 정의된 하향작업 V로 안정화된다.
• 일반적으로 해석적 퍼텐셜이라도 최대화 측도가 유일한 고정점에만 지지될 때가 아니면 V는 해석적이지 않다.