[논문 리뷰] Poincare Duality at the Chain Level, and a BV Structure on the Homology of the Free Loops Space of a Simply Connected Poincare Duality Space

Thomas Tradler, Mahmoud Zeinalian|arXiv (Cornell University)|2003. 09. 28.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 차원 d인 컴팩트하고, 방향성이 있으며, 트라이앵귤레이션된 Poincaré dualty 공간 X의 단순 복합체 체인에 대해 A∞ Poincaré duality 구조를 수립한다. 이 구조를 바탕으로, 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]에 BV 대수를 구성한다. 단순 연결된 X에 대해서는 이 코homology가 자유 루프 공간 LX의 호모로지 H•(LX)[d]와 일치하며, 따라서 H•(LX)[d]는 BV 구조를 지닌다.

ABSTRACT

We show that the simplicial chains, C•X, on a compact, triangulated, and oriented Poincaré duality space, X, of dimension d, can be endowed with an A ∞ Poincaré duality structure. Using this, we show that the shifted Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X)[d], of the cochain algebra, C • X, with values in the chains, C•X, has a BV structure. This is achieved by using the A ∞ Poincaré duality structure to obtain a particular vector space isomorphism between HH • (C • X, C • X), which carries a multiplication, ∪ , and HH • (C • X, C•X), which carries a ∆ operator. It is argued in [T2] that due to the particular properties of this isomorphism, the transport of the multiplication ∪ from the domain onto the range yields a BV structure on the shifted Hochschild cohomology HH • (C • X, C•X)[d]. For a simply connected space X, the Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X), of the cochain algebra with values in the chains, is identified [J] with the homology, H•(LX), of the free loop space. Thus, for a simply connected Poincaré duality space, X, the shifted homology H•(LX)[d] admits a BV structure. For a manifold M, Chas and

연구 동기 및 목표

• 컴팩트하고, 방향성이 있으며, 트라이앵귤레이션된 Poincaré duality 공간 X의 단순 복합체 체인 C•X에 대해 A∞ Poincaré duality 구조를 수립한다.
• 이 A∞ 구조를 사용하여, 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]가 BV 구조를 지닌다는 것을 보인다.
• X가 단순 연결일 경우, Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)가 자유 루프 공간 LX의 호모로지 H•(LX)와 일치한다는 것을 밝힌다.
• C•X에 존재하는 A∞ Poincaré duality 구조로부터 H•(LX)[d]가 BV 구조를 상속받는다는 것을 수립한다.
• 루프 공간 호모로지에 대한 BV 대수적 구조를 지지하는, 체인 수준의 Poincaré duality 실현을 제공한다.

제안 방법

• 컴팩트하고, 방향성이 있으며, 트라이앵귤레이션된 Poincaré duality 공간 X의 단순 복합체 체인 C•X에 A∞ Poincaré duality 구조를 부여한다.
• 이 A∞ 구조를 사용하여, HH•(C•X, C•X)와 HH•(C•X, C•X) 사이의 특정한 벡터 공간의 동형사상을 정의하며, 대수적 연산을 유지한다.
• 이 동형사상에 의해 도메인에서 공역으로 쿠퍼 곱 ∪를 옮기며, 이심프틸드 Hochschild 코homology에 곱 연산을 유도한다.
• 이 동형사상의 성질을 활용하여, 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]에 BV 연산자 ∆를 도입한다.
• 단순 연결된 X에 대해 HH•(C•X, C•X)와 H•(LX) 사이의 알려진 일치를 적용하여, BV 구조를 H•(LX)[d]로 이전한다.
• A∞ Poincaré duality 구조를 사용하여 체인 수준의 쌍대성과 BV 대수적 연산 간의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Poincaré duality 공간의 단순 복합체 체인에 A∞ Poincaré duality 구조를 도입할 수 있는가?
• RQ2 C•X가 A∞ Poincaré duality 구조를 지닐 경우, 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]는 BV 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 A∞ Poincaré duality 구조는 BV 연산자 ∆를 이심프틸드 Hochschild 코homology로 옮기는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 단순 연결된 X에 대해 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)와 자유 루프 공간 LX의 호모로지 H•(LX) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]에 존재하는 BV 구조는 단순 연결된 Poincaré duality 공간에 대해 H•(LX)[d]로 내림내릴 수 있는가?

주요 결과

• 차원 d인 컴팩트하고, 방향성이 있으며, 트라이앵귤레이션된 Poincaré duality 공간 X의 단순 복합체 체인 C•X는 A∞ Poincaré duality 구조를 지닌다.
• 이심프틸드 Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)[d]는, 쿠퍼 곱과 ∆-연산자를 옮기는 동형사상을 통해 구성된 BV 구조를 지닌다.
• 단순 연결된 공간 X에 대해, Hochschild 코homology HH•(C•X, C•X)는 자유 루프 공간 LX의 호모로지 H•(LX)와 동형이다.
• 결과적으로, 이심프틸드 호모로지 H•(LX)[d]는 C•X에 존재하는 A∞ Poincaré duality 구조로부터 BV 구조를 상속받는다.
• H•(LX)[d]에 존재하는 BV 구조는 체인 수준의 A∞ Poincaré duality로부터 유래되며, 루프 공간 호모로지에 대한 BV 대수의 기하적 실현을 제공한다.
• 이러한 구성은 Hochschild 코homology 군 간의 동형사상의 특수한 성질에 의존하며, ∪ 곱과 ∆ 연산자 간의 호환성을 보장한다.