[논문 리뷰] Point processes of non stationary sequences generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 37인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비stationary 동역학계, 특히 순차적 및 랜덤 동역학계에서 희귀 사건의 표식이 부여된 점과정의 수렴을 위한 충분조건을 설정한다. 여기서는 영역-임계초과(Area Over Threshold, AOT) 및 피크-임계초과(Peak Over Threshold, POT) 표식이 부여된 점과정이 명시적인 다중도 분포를 가진 복합 포아송과정으로 수렴함을 증명하며, 이는 고착된 상관관계 감쇠 및 극단가 통계의 적절한 정규화 조건을 포함한다.

ABSTRACT

We give general sufficient conditions to prove the convergence of marked point processes that keep record of the occurrence of rare events and of their impact for non-autonomous dynamical systems. We apply the results to sequential dynamical systems associated to uniformly expanding maps and to random dynamical systems given by fibred Lasota Yorke maps.

연구 동기 및 목표

• 정상성이 성립하지 않는 비자율적 동역학계로 극단가 이론을 확장하기 위해.
• 순차적 및 랜덤 동역학계에서 희귀 사건과 그 영향을 추적하는 표식이 부여된 점과정의 수렴을 위한 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비stationary 설정에서 복합 포아송과정의 극한 다중도 분포에 대한 명시적 공식을 유도하기 위해.
• 특정 시스템, 예를 들어 균일하게 확장되는 사상과 피브어드 라소이-요르케 사상에 이 이론을 적용하여 조건을 검증하고 극한 법칙을 계산하기 위해.

제안 방법

• 고착된 상관관계 감쇠를 사용하여 비stationary, 비자율적 시스템으로 표식이 부여된 희귀 사건 점과정(MREPP) 이론을 일반화한다.
• 복합 포아송과정으로의 수렴을 보장하기 위해 시스템의 불변 측도와 관측량에 대한 조건을 도입한다.
• 균일하게 확장되는 사상이 포함된 순차적 동역학계에 이 프레임워크를 적용하여 상관관계 감쇠와 측도의 경계를 검증한다.
• 레바그레의 미분 정리를 사용하여 尾확률의 극한 비율을 계산하며, 이는 다중도 분포 유도에 필수적이다.
• 세 가지 유형의 관측량(유형 1: 로그형, 유형 2: 거듭제곱법칙형, 유형 3: 유계형)에 기반하여 다중도 분포 π(x)에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 지수 혼합성과 유한 주기성의 가정 하에, 정규화 수열 an에 따라 AOT 및 POT 과정의 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비stationary 동역학계에서 표식이 부여된 희귀 사건 점과정은 어떤 조건 하에 수렴하는가?
• RQ2 시스템이 정상성을 갖지 않을 경우 극단가의 극한 분포는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ3 비자율적 시스템에서 복합 포아송과정의 극한 다중도 분포의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 다양한 유형의 관측량(로그형, 거듭제곱법칙형, 유계형)은 AOT 및 POT 과정의 극한 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이론적 프레임워크는 순차적 사상과 피브어드 라소이-요르케 사상과 같은 특정 시스템에 적용되어 정확한 극한 법칙을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 조건 하에 AOT 및 POT 표식이 부여된 점과정은 강도 θ = 1인 복합 포아송과정으로 분포 수렴한다.
• 유형 1 관측량(g = −log x)의 경우 다중도 분포는 π(x) = 1 − e^−x이며, 정규화 an = h(un)^−1이다.
• 유형 2 관측량(거듭제곱법칙형)의 경우 π(x) = 1 − (1 + x)^−β이며, 정규화 an = un^−1이다.
• 유형 3 관측량(유계형)의 경우 π(x) = 1 − (1 − x)^γ이며, 정규화 an = (D − un)^−1이다.
• 수렴은 고착된 상관관계 감쇠 및 Lebesgue 측도 m(Un)에 대한 측도 μσ^iω(Un)의 경계를 통해 확립된다.
• 증명은 일반적인 ω(유한한 주기 블록을 가진)에 대해, 점 z의 작은 이웃으로의 복귀 시간이 일관된 ε > 0 간격으로 분리되어 있음을 보이며, 이는 오차 항의 균일 경계를 가능하게 한다.