[논문 리뷰] Pointwise convergence of some multiple ergodic averages

Sebastián Donoso, Wenbo Sun|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에르고딕 시스템에서 가환하는 변환을 포함하는 다중 에르고딕 평균의 점별 수렴을 입증하며, sated 및 마법 확장과 함께 위상적 모델을 사용한다. 입자는 입자 구성과 대각선화된 다중 평균의 거의 모든 곳에서 수렴함을 증명하며, 이는 이전 결과를 distal 시스템으로 확장하고, 에르고딕 자가결합 측도를 통한 $L^2$-극한 특성화를 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We show that for every ergodic system $(X,μ,T_1,\ldots,T_d)$ with commuting transformations, the average \[\frac{1}{N^{d+1}} \sum_{0\leq n_1,\ldots,n_d \leq N-1} \sum_{0\leq n\leq N-1} f_1(T_1^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)f_2(T_2^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x)\cdots f_d(T_d^n \prod_{j=1}^d T_j^{n_j}x). \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. If $X$ is distal, we prove that the average \[\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N} f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_d(T_d^nx) \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o\infty$. We also establish the pointwise convergence of averages along cubical configurations arising from a system commuting transformations. Our methods combine the existence of sated and magic extensions introduced by Austin and Host respectively with ideas on topological models by Huang, Shao and Ye.

연구 동기 및 목표

• 가환하는 변환을 포함하는 에르고딕 시스템에서 다중 에르고딕 평균의 점별 수렴을 확립한다.
• 이전에 알려진 $L^2$ 수렴 결과를 점별 수렴으로 확장하며, 특히 입자 및 대각선 구성에 대해 적용한다.
• 에르고딕 자가결합 측도 $\mu_x^F$를 사용하여 다중 평균의 $L^2$-극한을 특성화한다.
• 등급 확장과 푸르스텐베르크-짐머 구조 정리에 의해 distal 시스템에서 점별 수렴을 증명한다.
• 수렴 분석을 위해 위상 동역학, sated 확장, 마법 확장을 통합하는 기법을 통합한다.

제안 방법

• Austin과 Host가 도입한 sated 및 마법 확장을 사용하여 수렴 성질을 확장에 따라 승격시킨다.
• Huang, Shao, Ye의 위상적 모델을 적용하여 최소 시스템에서 수렴을 분석한다.
• 자기결합 측도 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$의 에르고딕 분해를 $Y^{[d]}$에서 분석하여 입자 평균을 분석한다.
• 에르고딕 자가결합 측도 $\mu^F_x$를 사용하여 다중 평균의 $L^2$-극한을 기술한다.
• 제닝스 부등식과 분리 체계를 사용하여 분해에서 측도의 유일성과 에르고딕성을 입증한다.
• 가환하는 변환의 수에 대한 귀납법을 사용하며, 등급 확장을 통해 $i-1$개의 변환으로의 경우로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르고딕 시스템에서 가환하는 변환을 포함할 때, 평균 $\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$ 는 $\mu$-거의 모든 곳에서 점별 수렴하는가?
• RQ2 에르고딕 자가결합 측도 $\mu_x^F$를 통해 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n x)$ 의 $L^2$-극한을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 가환하는 변환을 포함하는 distal 시스템에서 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 는 거의 모든 곳에서 점별 수렴하는가?
• RQ4 푸르스텐베르크-짐머 구조 정리를 사용하여 등급 확장을 통해 다중 평균의 점별 수렴을 승격시킬 수 있는가?
• RQ5 자기결합 측도 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$의 $d$중 분해에서 각 섬유 측도가 $\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$에 대해 마법적인가?

주요 결과

• 에르고딕 시스템에서 가환하는 변환을 포함할 때, 평균 $\frac{1}{N^{d+1}}\sum_{n_1,\ldots,n_d,n=0}^{N-1} \prod_{j=1}^d f_j(T_j^n \prod_{k=1}^d T_k^{n_k} x)$ 는 $N\to\infty$일 때 $\mu$-거의 모든 $x\in X$에서 수렴한다.
• 에르고딕 시스템에서 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 의 $L^2$-극한은 $\mu$-거의 모든 $x\in X$에서 $\int f_1\otimes\cdots\otimes f_d \,d\mu_x^F$ 와 같다. 여기서 $\mu_x^F$는 에르고딕 자가결합 측도이다.
• Distal 시스템에서는 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_d(T_d^n x)$ 가 $N\to\infty$일 때 거의 모든 곳에서 점별 수렴한다.
• 자기결합 측도 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$의 에르고딕 분해 $\nu_{T_1,\ldots,T_d} = \int \nu_{\vec{x}} \,d\nu_{T_1,\ldots,T_d}(\vec{x})$ 는 거의 모든 $\vec{x}$에서 $\nu_{\vec{x}}$ 가 $\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1$ 에 대해 마법적임을 만족한다.
• 시스템 $\nu_{T_1,\ldots,T_d}$ 는 마법적이다. 즉, 모든 $k\in\mathbb{N}$ 에 대해 $\|f_k - \mathbb{E}_{\nu_{\vec{x}}}(f_k \mid \bigvee_{i=1}^d \mathcal{I}_{\mathcal{F}_i^1})\|_{\nu_{\vec{x}},\mathcal{F}_1^1,\ldots,\mathcal{F}_d^1} = 0$ 이다.
• 증명은 등급 확장을 통한 수렴 승격과 푸르스텐베르크-짐머 구조 정리를 사용하며, 자가결합 측도 $\mu_x^F$의 에르고딕성 덕분에 가능하다.