[논문 리뷰] Pointwise recurrence for commuting measure preserving transformations

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 18.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률 공간에서 가환 측도를 보존하는 변환에 대해 비전통적인 에르고딕 평균의 거의 everywhere 점근 수렴성을 확립한다. 동역학계 모델과 불변 측도에 기반한 새로운 접근법을 사용하여, 유계 함수 $f_i$에 대해 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\prod_{i=1}^{H}f_i(T_i^n x)$ 형태의 평균이 거의 everywhere 수렴함을 증명함으로써, 에르고딕 이론에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하고, 부르간의 이중 재귀 정리에 대한 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(X,\mathcal{A}, μ)$ be a probability measure space and let $T_i,$ $1\leq i\leq H,$ be commuting invertible measure preserving transformations on this measure space. We prove the following pointwise results; The averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^nx)\cdots f_H(T_H^nx)$$ converge a.e. for every function $f_i \in L^{\infty}(μ)$ .\\ As a consequence if $T_i = T^i$ for $1\leq i \leq H$ where $T$ is an invertible measure preserving transformation on $(X, \mathcal{A}, μ)$ then the averages $$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^nx)f_2(T^{2n}x)...f_H(T^{Hn}x)$$ converge a.e. This solves a long open question on the pointwise convergence of nonconventional ergodic averages. For $H=2$ it provides another proof of J. Bourgain's a.e. double recurrence theorem.

연구 동기 및 목표

• 다수의 가환 측도를 보존하는 변환을 포함하는 비전통적인 에르고딕 평균의 거의 everywhere 점근 수렴성을 확립하기 위해.
• 형식 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f_1(T^{n}x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$의 평균에 대한 점근 수렴성에 관한 오랫동안 열려 있던 열린 문제를 해결하기 위해.
• 특성 인자나 균일한 위너-윈너 추정치를 사용하지 않는 다른 방법을 통해 J. 부르간의 거의 everywhere 이중 재귀 정리에 대한 새로운 증명을 제공하기 위해.
• 자기 행동에서의 수렴 결과를 분해 기법을 통해 일반적인 가환 측도를 보존하는 시스템으로 확장하기 위해.

제안 방법

• B. Weiss의 동형 정리에 기반한 모델 동역학계를 이용하여, 원래의 측도를 보존하는 시스템을 컴acts 메트라이잭블 공간 위의 최소 자유 $\mathbb{Z}^H$-행동로 표현한다.
• 변환 $\Phi(z) = (T_1 z_1, \dots, T_H z_H)$에 대한 반복에 의해 대각 측도 $\mu_\Delta$의 투영을加權한 합으로 정의된 $X^H$ 위의 확률 측도 $\nu$를 도입한다.
• 최대 에르고딕 정리와 최대 부등식을 적용하여, $F = \otimes f_i$에 대해 $M_N(F)(z) = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N F(\Phi^k z)$의 $\nu$-almost everywhere 수렴성을 보인다.
• 등급이 없는 측도의 null 집합이 $\mu_\Delta$-null임을 이용하여, 등급이 없는 측도를 통해 $\nu$-almost everywhere 수렴 결과를 원래 측도 공간으로 이전한다.
• 주기적 및 비주기적 집합으로 공간을 분해하여, 자유 행동에서 일반적인 가환 시스템으로의 수렴을 확장한다.
• 특수한 경우 $T_i = T^i$일 때, $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$의 거의 everywhere 수렴을 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환 측도를 보존하는 변환에 대해 비전통적인 에르고딕 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T_1^n x)\cdots f_H(T_H^n x)$는 거의 everywhere 수렴하는가?
• RQ2 이 방법을 사용하여 지수에 고차 다항식을 포함하는 평균의 점근 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 이 결과는 자유 행동이 아닌 경우 또는 주기적 성분을 포함하는 시스템으로 확장되는가?
• RQ4 이 접근법을 사용하여 이러한 평균을 포함하는 에르고딕 힐버트 변환의 수렴성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $f_i \in L^\infty(\mu)$에 대해, $T_i$가 가환하고 가역적이며 측도를 보존하는 변환일 경우, 평균 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \prod_{i=1}^H f_i(T_i^n x)$는 거의 everywhere 수렴한다.
• 행동이 자유가 아니더라도, 공간을 주기적 및 비주기적 부분으로 분해하고 각 성분에 수렴 결과를 적용함으로써 결과가 유지됨을 보였다.
• $T_i = T^i$인 특수한 경우에 대해, $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^n x)\cdots f_H(T^{Hn}x)$의 거의 everywhere 수렴이 확립되었으며, 이는 에르고딕 이론에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 이 방법은 특성 인자나 균일한 위너-윈너 추정치를 사용하지 않고, J. 부르간의 거의 everywhere 이중 재귀 정리에 대한 대체 증명을 제공한다.
• 평균의 수렴은 먼저 $X^H$ 위의 측도 $\nu$에 대해 보이고, 이후 측도 이론적 동형을 통해 대각 측도 $\mu_\Delta$로 이전된다.
• M. 월시와 T. 오스틴의 관련 연구에서 보듯이, 변환이 노르말 군을 생성하는 시스템으로 결과가 확장될 수 있으나, 현재 방법은 다항식 수열 $n^2$에는 직접 적용되지 않는다.