[논문 리뷰] Poisson Bracket and Symplectic Structure of Covariant Canonical Formalism of Fields

Yasuhito Kaminaga|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 20.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다양한 다양체 위의 미분형식으로서의 캐논ical 변수를 갖는 장의 공변 캐논ical 형식에 대해 새로운 파울슨 괄호와 심플렉틱 구조를 소개한다. 미분형식의 대수 위에 계량된 파울슨 괄호를 정의함으로써, 저자들은 전통적인 역학을 일반화하고 중력 및 gauge 이론을 포함한 장 이론에 기하학적 기반을 제공하는 명백한 로렌츠 및 게이지 공변성의 해밀턴 프레임워크를 수립한다.

ABSTRACT

The covariant canonical formalism is a covariant extension of the traditional canonical formalism of fields. In contrast to the traditional canonical theory, it has a remarkable feature that canonical equations of gauge theories or gravity are not only manifestly Lorentz covariant but also gauge covariant or diffeomorphism covariant. A mathematical peculiarity of the covariant canonical formalism is that its canonical coordinates are differential forms on a manifold. In the present paper, we find a natural Poisson bracket of this new canonical theory, and study symplectic structure behind it. The phase space of the theory is identified with a ringed space with the structure sheaf of the graded algebra of "differentiable" differential forms on the manifold. The Poisson and the symplectic structure we found can be even or odd, depending on the dimension of the manifold. Our Poisson structure is an example of physical application of Poisson structure defined on the graded algebra of differential forms.

연구 동기 및 목표

• 공간과 시간을 동등하게 취급하는 고전적 장 이론에 대해 명백한 공변 해밀턴 형식을 개발하는 것.
• 게이지 이론과 중력에 대해 전통적인 캐논ical 형식이 게이지 고정 또는 디라크 괄호가 필요로 하는 한계를 극복하는 것.
• 캐논ical 변수로서의 미분형식 대수 위에 자연스러운 파울슨 괄호를 정의하여 로렌츠 및 게이지 대칭을 유지하는 것.
• 미분형식과 계량 기하학을 사용하여 공변 캐논ical 형식의 배경이 되는 심플렉틱 구조를 수립하는 것.
• 유도된 파울슨 구조가 해밀턴 방정식과 일관되며 계량된 자코비 항등식을 만족하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 텐서 성분 대신 미분형식을 캐논ical 변수로 채택하여 명백한 공변성을 가능하게 한다.
• 변분법과 외적 곱의 구조를 사용하여 한 미분형식에 대한 다른 미분형식의 도함수를 정의한다.
• 라그랑지안 $ n $-형식 $ L $ 에서의 레지오프 변환을 통해 해밀턴ian $ n $-형식 $ H $ 를 정의하며, 쌍대 운동량 $ p_a, \pi_\alpha $ 를 사용한다.
• 기능적 도함수를 $ H $ 에 대해 취하여 공변 캐논ical 운동 방정식을 유도함으로써, 로렌츠 및 게이지 공변성을 보장한다.
• 각 함수 $ f $ 에 대해 해밀턴 벡터장 $ \bm{X}_f $ 를 갖는 미분형식의 공간 위에 심플렉틱 형식 $ \bm{\omega} $ 를 구성한다.
• 파울슨 괄호를 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g = -\langle \bm{X}_f, \bm{X}_g; \bm{\omega} \rangle $ 로 정의하여 $ \mathbb{Z}_2 $-계량된 리 대수의 구조를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논ical 변수가 미분형식인 공변 캐논ical 형식에서 파울슨 괄호를 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 미분형식으로 기술된 장의 공변 해밀턴 역학의 배경이 되는 심플렉틱 구조는 무엇인가?
• RQ3 제안된 파울슨 괄호는 장 이론에서 로렌츠 및 게이지(또는 미분형식) 공변성을 어떻게 유지하는가?
• RQ4 미분형식 대수 위의 파울슨 괄호의 계량된 대수적 구조(예: 자코비 항등식, 곱의 법칙)는 무엇인가?
• RQ5 이 형식을 사용하여 게이지 이론과 중력의 캐논ical 운동 방정식을 게이지 고정 또는 디라크 괄호 없이 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 연속적인 미분형식의 대수 위에 자연스러운 파울슨 괄호 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $ 가 정의되며, 계량된 반대칭성과 자코비 항등식을 만족한다.
• 파울슨 괄호는 $ \mathbb{Z}_2 $-계량된 차수 $ |\{f,g\}| = |f| + |g| + n + 1 \mod 2 $ 를 가지며, 이는 형식의 계량된 성격을 반영한다.
• 심플렉틱 구조는 미분형식의 공간 위에 비퇴화적이고 닫혀 있으며 계량된 대칭인 2형식 $ \bm{\omega} $ 를 통해 구성된다.
• 해밀턴 벡터장 $ \bm{X}_f $ 는 $ i_{\bm{X}_f}\bm{\omega} = \bm{d}f $ 로 정의되며, 파울슨 괄호는 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $ 로 유도된다.
• 사상 $ f \mapsto \bm{X}_f $ 는 $ \mathbb{Z}_2 $-계량된 리 대수 준동형사상이며, $ \bm{X}_{\{f,g\}} = -[\bm{X}_f, \bm{X}_g] $ 를 만족한다.
• 이 형식은 게이지 이론과 중력에 대해 게이지 고정 또는 디라크 괄호 없이도 명백한 로렌츠 및 게이지 공변성의 운동 방정식을 도출한다.