[논문 리뷰] Reconsideration of De Donder-Weyl theory by covariant analytic mechanics

Satoshi Nakajima|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 15.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 게이지 및 중력장에 적용될 때 기존의 De Donder-Weyl(DW) 이론의 기본적인 결함을 수정한 개선된 DW 이론과 공변 분석역학(CAM) 사이의 엄밀한 등가성을 확립한다. CAM의 미분형 기반 캐논리컬 방정식을 텐서 성분으로 재구성함으로써, 저자들은 이들이 수정된 DW 방정식과 정확히 일치함을 보이며, 또한 스피너 장들만 독립 변수로 사용하는 수정된 해밀턴 형식을 제안하여 디рак 방정식을 올바르게 유도한다.

ABSTRACT

We show that the covariant analytic mechanics (CAM) is closely related to the De Donder-Weyl (DW) theory. To treat space and time on an equal footing, the DW theory introduces $D$ conjugate fields ($D$ is the dimension of space-time) for each field and the CAM regards the differential forms as the basic variables. The generalization of the canonical equations is called the DW equations. Although one of the DW equations is not correct for the gauge field and the gravitational field, we show the way to improve it. By rewriting the canonical equations of the CAM, which are manifestly general coordinate covariant and gauge covariant, using the components of the tensors, we show that these are equivalent to the improved DW equations. Additionally, we investigate the Dirac field. We present a modified Hamilton formalism which regards only the Dirac fields as the basic variables and show that it provides the Dirac equations correctly.

연구 동기 및 목표

• 게이지 및 중력장에 적용될 때, 캐논리컬 방정식 중 하나가 쌍대 운동량 대칭성의 잘못된 처리로 실패하는 원래의 De Donder-Weyl(DW) 이론의 비일관성을 해결하기 위해.
• 미분형을 기본 변수로 사용하는 공변 분석역학(CAM) 프레임워크가 수정된 DW 이론과 등가임을 보여주기 위해.
• 디рак 장에 대해 스피너 장들만 독립 변수로 취급하는 수정된 해밀턴 형식을 개발하고 검증하여, 부가적인 제약 조건을 피하고 디рак 방정식을 정확히 재생산할 수 있도록 하기 위해.
• CAM의 포아송 괄호와 원래의 DW 이론의 괄호 사이의 차이를 명확히 하여, CAM의 형 기반 괄호가 텐서 성분 표현에서 발생하는 비일관성을 피함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 원래의 미분형 기반 표현으로 기술된 CAM의 캐논리컬 방정식을, 장들과 쌍대 운동량의 텐서 표현을 사용하여 성분 형태로 재구성하기 위해.
• 원래 DW 방정식의 결함을 특정화하기 위해: 다중 운동량(polymomenta)이 모든 시공간 인덱스에서 상호 독립적이라고 가정하는 것이, 게이지 및 중력장과 같은 텐서 장에서는 성립하지 않음을 밝혀내기 위해.
• 쌍대 운동량의 완전한 반대칭성을 강제함으로써 제약 기반 수정을 도입하고, 개선된 DW 방정식을 유도하기 위해.
• CAM의 캐논리컬 방정식의 성분 형태가 정확히 개선된 DW 방정식과 일치함을 보여주어, 일반 좌표 및 게이지 공변성 하에서 두 이론 간의 등가성을 입증하기 위해.
• 제약 조건을 다루기 위해 라그랑주 승수를 도입하여 CAM 형식을 디랙 장에 적용한 후, 스피너 장들만 독립 변수로 취급하는 수정된 해밀턴 형식을 유도하기 위해.
• 변분을 수행하고 스피너 부문에서의 오일러-라그랑주 방정식과의 일관성을 확인함으로써, 수정된 해밀턴 형식이 정확한 디랙 방정식을 유도함을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래의 De Donder-Weyl 이론이 게이지 및 중력장에 대해 잘못된 설명을 내놓는 이유는 무엇이며, 그 캐논리컬 방정식에서 발생하는 오류의 정확한 성격은 무엇인가?
• RQ2 성분 기반 재구성에 의해, 공변 분석역학(CAM) 프레임워크가 수정된 De Donder-Weyl 이론과 등가임을 입증할 수 있는가?
• RQ3 디랙 장은 첫째 유형의 제약 조건과 페르미온 성질을 지닌다. 이러한 특성을 고려할 때, 명백한 공변 해밀턴 형식 내에서 어떻게 일관되게 다룰 수 있는가?
• RQ4 포아송 괄호 정의에서 미분형과 텐서 성분의 역할은 무엇이며, 왜 CAM 접근법은 원래 DW 표현에서 발생하는 비일관성을 피하는가?
• RQ5 스피너 장들만 독립 변수로 취급하는 수정된 해밀턴 형식을 구성할 수 있으며, 여전히 정확한 역학을 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 원래의 De Donder-Weyl 이론은 시공간 인덱스 전반에 걸친 쌍대 운동량의 완전한 반대칭성을 강제하지 못함으로써, 게이지 및 중력장에 대해 잘못된 방정식을 포함하고 있다.
• 다중 운동량에 반대칭성 제약을 적용함으로써 저자들은 이론의 캐논리컬 구조와 일관된 개선된 DW 방정식 집합을 도출한다.
• 공변 분석역학(CAM)의 캐논리컬 방정식 성분 형태는 개선된 DW 방정식과 수학적으로 등가이며, CAM과 수정된 DW 형식 간의 엄밀한 등가성을 입증한다.
• CAM에서 정의된 포아송 괄호는 미분형 기반으로 정의되어 있어, 텐서 성분을 사용하는 원래의 DW 이론에서 발생하는 비일관성을 피함을 보여준다.
• 스피너 장들만 독립 변수로 취급하는 디랙 장에 대한 수정된 해밀턴 형식은 정확한 디랙 방정식을 재생산하며, 이는 접근법의 일관성을 확인한다.
• 유도 과정은 변분을 독립 스피너 장들에 대해서만 수행할 경우, 디랙 방정식이 해밀턴 형식에서 자연스럽게 유도됨을 확인한다. 이때 쌍대 형들은 종속 변수로 간주된다.