[논문 리뷰] Poly: An abundant categorical setting for mode-dependent dynamics

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 내부 상태에 따라 와이어링 다이어그램과 인터페이스가 변화하는 모드에 따라 달라지는 동적 시스템을 모델링하기 위한 자연스럽고 구조적으로 풍부한 범주론적 프레임워크로 다항형(functor)의 범주인 𝖯𝗈𝗅𝗒를 제안한다. 𝖯𝗈𝗅𝗒가 복수의 상호작용하는 모나이드 구조(합성과 텐서곱 포함)를 지원하며, 이러한 구조의 코알제브라(coalgebras)가 자연스럽게 동적 시스템을 모델링함을 보여주며, 이는 범주의 내재된 범주론적 풍부함에서 기인한다.

ABSTRACT

Dynamical systems---by which we mean machines that take time-varying input, change their state, and produce output---can be wired together to form more complex systems. Previous work has shown how to allow collections of machines to reconfigure their wiring diagram dynamically, based on their collective state. This notion was called "mode dependence", and while the framework was compositional (forming an operad of re-wiring diagrams and algebra of mode-dependent dynamical systems on it), the formulation itself was more "creative" than it was natural. In this paper we show that the theory of mode-dependent dynamical systems can be more naturally recast within the category Poly of polynomial functors. This category is almost superlatively abundant in its structure: for example, it has \emph{four} interacting monoidal structures $(+, imes,\otimes,\circ)$, two of which ($ imes,\otimes$) are monoidal closed, and the comonoids for $\circ$ are precisely categories in the usual sense. We discuss how the various structures in Poly show up in the theory of dynamical systems. We also show that the usual coalgebraic formalism for dynamical systems takes place within Poly. Indeed one can see coalgebras as special dynamical systems---ones that do not record their history---formally analogous to contractible groupoids as special categories.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 인터페이스와 와이어링 패턴을 가진 동적 시스템을 모델링하기 위한 자연스럽고 구조적으로 풍부한 범주론적 설정을 제공하기 위해.
• 이전의 수월한 운영 프레임워크들이 모드에 따라 달라지는 역학에 한계를 가졌음을 다루기 위해, 이를 더 기초적이며 풍부한 범주에 통합하기 위해.
• 다항형의 범주인 𝖯𝗈𝗅𝗒가 정적 및 동적 시스템 조합을 위한 통합적이고 구성적인 설정을 제공함을 보여주기 위해.
• 표준적인 동적 시스템에 대한 코알제브라 형식론이 𝖯𝗈𝗅𝗒 내부적으로 자연스럽게 통합되며, 이는 범주의 내부 구조에서 기인한 모드 의존성으로 발생함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 논문은 집합(Set) 위의 다항형의 범주인 𝖯𝗈𝗅𝗒를 기초 설정으로 사용하며, 그 풍부한 범주론적 구조를 활용한다.
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 내의 핵심 모나이드 구조—즉, (+, ×, ⊗, ∘)—를 식별하고, ×와 ⊗가 모나이드 닫힘임을 보여주며, 내부 호모모르피즘과 함수 공간을 가능하게 한다.
• 𝖯𝗈𝗅𝗒에서 합성 구조 ∘에 대한 코모노이드는 표준적인 의미의 범주와 정확히 일치함을 확립하며, 범주론과 시스템 조합을 연결한다.
• 동적 시스템을 다항형에 대한 코알제브라로 모델링하며, 코알제브라 형식론이 𝖯𝗈𝗅𝗒 내부적으로 자연스럽게 내장됨을 보여준다.
• 와이어링 다이어그램을 𝖯𝗈𝗅𝗒 내의 사상으로 형식화하며, 상태에 따라 인터페이스가 변하는 비단항형 다항형으로 표현되는 모드 의존 시스템을 표현한다.
• 𝖯𝗈𝗅𝗒에서의 곱의 보편 성질을 사용하여, 맥락 의존적인 시스템을 포함한 동적 시스템의 조합을 범주론적 극한과 보편 구성으로 자연스럽게 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 상태에 따라 인터페이스와 와이어링이 변화하는 모드 의존적 역학—즉, 시간에 따라 변화하는 인터페이스와 와이어링 패턴을 가진 시스템—은 어떻게 구성적이고 자연스러운 방식으로 형식화할 수 있는가?
• RQ2 인터페이스가 고정되어 있지 않은 경우, 특히 인터페이스가 변할 수 있는 상황에서, 동적 시스템의 조합적 와이어링을 뒷받침하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 동적 시스템에 대한 표준 코알제브라 형식론은 더 풍부한 범주론적 프레임워크 내부에 자연스럽게 통합될 수 있는가? 특히 모드 의존성을 지원하는 프레임워크에서 말이다.
• RQ4 다항형의 범주에 내재된 다수의 모나이드 구조가 시스템 상호작용과 재구성 모델링에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다항형의 범주 𝖯𝗈𝗅𝗒는 정적 와이어링 다이어그램, 동적 재구성, 시스템 조합을 어떻게 하나의 형식론에서 통합하는가?

주요 결과

• 범주 𝖯𝗈𝗅𝗒는 네 개의 상호작용하는 모나이드 구조(+, ×, ⊗, ∘)를 지원하며, ×와 ⊗는 모나이드 닫힘을 이루며 함수 공간과 내부 호모모르피즘을 가능하게 한다.
• 𝖯𝗈𝗅𝗒에서 합성 구조 ∘에 대한 코모노이드는 표준 의미의 범주와 정확히 일치하며, 범주론과 시스템 조합을 연결한다.
• 다항형에 대한 코알제브라로 모델링된 동적 시스템은 자연스럽게 𝖯𝗈𝗅𝗒 내부에 통합되며, 코알제브라 형식론은 과거 기록을 저장하지 않는 시스템을 포괄한다.
• 모드 의존 시스템은 인터페이스 유형이 상태에 따라 변하는 비단항형 다항형, 예를 들어 𝒚^A₁A₂ + 𝒚 + B𝒚와 같은 형태로 표현된다.
• 와이어링 다이어그램, 포함 동적 재구성까지도 𝖯𝗈𝗅𝗒 내의 사상으로 형식화되며, 딜리클레 곱(Dirichlet product)을 통해 시스템의 병렬 배치가 가능하다.
• 𝖯𝗈𝗅𝗒에서의 곱의 보편 성질을 통해 맥락 의존적인 인터페이스를 가진 시스템들 사이의 자연스러운 오버레이 및 조합이 가능하다.