[논문 리뷰] Pontryagin's maximum principle and second order optimality condition for optimal control problems for the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 23.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템의 분산 최적 제어에 대해 일阶 및 이阶 최적성 조건을 수립하며, Pontryagin 최대원리와 변분 해석을 통해 이차 필요 및 충분 조건을 도출한다. 주요 기여는 단상 분리와 유체 상호작용을 포함하는 복잡한 비선형 비국소 유체역학 모델에서 최적 제어의 엄밀한 특성화이다.

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We describe the first order necessary conditions of optimality via Pontryagin minimum principle and prove second order necessary and sufficient conditions of optimality for the problem.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대한 분산 최적 제어 문제를 수립한다.
• Pontryagin의 최대원리를 사용하여 일阶 필수 최적성 조건을 유도한다.
• 최적 제어 문제에 대해 이차 필요 및 충분 최적성 조건을 수립한다.
• 연역 시스템의 구조를 분석하고 최적 제어를 특성화하는 데서의 역할을 규명한다.
• 비국소, 비선형, 미분 가능하지 않은 유체-상 상호작용 모델에서 최적 제어의 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 유계 2차원 영역에서 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 방정식을 만족하는 제약 조건 하에 이차 비용 함수를 최소화하는 분산 최적 제어 문제를 수립한다.
• 상태 변수(속도, 농도, 화학적 포텐셜)에 대한 연역 시스템을 통해 Pontryagin 최대원리를 적용하여 일阶 필수 최적성 조건을 도출한다.
• 상태 변수에 대한 연역 시스템을 도입하고, 힐버트 공간 설정에서 부분 적분을 사용하여 변분 항등식을 유도한다.
• 비용 함수를 최적 제어 주위에서 이차 전개하고, 라그랑지안의 헤시안을 포함하는 이차 충분 조건을 유도한다.
• 비국소 항(J∗ϕ)과 Korteweg 힘(µ∇ϕ)의 구조를 분석하여 연역 방정식의 정규성 및 잘 정의됨을 분석한다.
• 이차 충분 조건과 제어 공간에서의 축소 헤시안의 엄격한 볼록성 사이의 동치성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템의 분산 최적 제어에 대해 일阶 필수 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 비국소 비선형 PDE 시스템에 대해 이차 필요 및 충분 최적성 조건은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 비국소 상호작용 커널 J는 연역 시스템과 최적성 조건의 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 Korteweg 힘(µ∇ϕ)의 존재는 최적성 시스템의 정규성과 해의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이차 충분 조건은 라그랑지안의 헤시안과 제어 공간 기하학적 구조를 통해 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 가변 점성도 및 이동도를 갖는 비국소 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 시스템에 대해 유일한 약한 해의 존재성을 증명하며, 이는 이전 결과를 비국소 경우로 확장한다.
• Pontryagin 최대원리를 통해 일阶 필수 최적성 조건이 도출되며, 이는 최적 제어가 연역 상태를 포함하는 변분 부등식을 만족함을 보여준다.
• 라그랑지안의 이차 미분을 분석하고 제어 방향에서 헤시안의 음이 아닌 성질을 요구함으로써 이차 필요 조건을 수립한다.
• 두 번째 미분이 엄격하게 양의 정부호일 경우 최적 제어가 국소적으로 최적임을 보여주는 방식으로 이차 충분 조건을 증명한다.
• 분석 결과, 최적 제어 삼중체 (u*, ϕ*, U*)가 연역 변수(p, η)를 포함하는 변분 부등식을 만족하며, 타당 집합 내에서의 변형에 대해 비용 함수가 증가함을 확인한다.
• 커널 J, 이중우물 포텐셜 F, 이동도 및 점성도 함수에 대한 표준 가정 하에 결과가 유효하며, 비국소 항(J∗ϕ)은 연역 방정식에서 커플레인 구조를 통해 다뤄진다.