[논문 리뷰] Positive and implicit stochastic volatility simulation

William Halley, Simon J. A. Malham외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Marsaglia의 폴라 방법과 Beasley-Springer-Moro 역행렬화의 새로운 표현 및 확장 방식을 사용하여 일반화된 가우시안 및 중심 카이제곱 분포에 대한 효율적이고 정확한 표본 추출 방법을 제안한다. 이 방법은 특히 외환 시장에서 흔한 낮은 자유도, 평균 회귀 동적 특성을 띠는 상황에서 Heston 모델에서 비중앙 카이제곱 표본 추출을 고정밀도, 강건성, 효율성 있게 가능하게 한다.

ABSTRACT

The transition probability of a Cox-Ingersoll-Ross process can be represented by a non-central chi-square density. First we prove a new representation for the central chi-square density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Second we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing a simple, exact, robust and efficient acceptance-rejection method for generalized Gaussian sampling and thus central chi-square sampling. Third we derive a simple, high-accuracy, robust and efficient direct inversion method for generalized Gaussian sampling based on the Beasley-Springer-Moro method. Indeed the accuracy of the approximation to the inverse cumulative distribution function is to the tenth decimal place. We then apply our methods to non-central chi-square variance sampling in the Heston model. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. Using the additivity property of the chi-square distribution, our methods apply in all parameter regimes.

연구 동기 및 목표

• 분산 과정이 낮은 자유도를 가지며 영역의 0에 도달 가능한 경계를 가지는 경우에도, Heston 모델에서 확률적 변동성 시뮬레이션의 과제를 해결한다.
• 중앙 카이제곱 분포를 기반으로 하는 일반화된 가우시안 변수에 대한 강건하고 효율적인 표본 추출 방법을 개발한다.
• Marsaglia의 폴라 방법을 일반화된 가우시안 분포로 확장하여 정확하고 기각 기반의 표본 추출을 고도로 효율적으로 가능하게 한다.
• Beasley-Springer-Moro 근사법을 사용한 직접 역행렬화 방법을 통해 일반화된 가우시안 표본 추출의 정확도를 10번째 소수 자리까지 확보한다.
• 카이제곱 분포의 가산성 특성을 활용하여 Heston 모델의 모든 파rameter 영역에 적용 가능한 방법론을 확보한다.

제안 방법

• 일반화된 가우시안 랜덤 변수의 거듭제곱 합을 이용한 중심 카이제곱 밀도의 새로운 표현을 유도한다.
• Marsaglia의 폴라 방법을 일반화된 가우시안 표본 추출로 확장하여 정확하고 강건하며 효율적인 수용-기각 표본 추출 알고리즘을 가능하게 한다.
• Beasley-Springer-Moro 알고리즘에 기반한 직접 역행렬화 방법을 구현하여, 역누적분포함수 근사 정확도를 10번째 소수 자리까지 확보한다.
• 일반화된 가우시안 표본 추출 기법을 Heston 모델의 분산 과정에 필요한 비중앙 카이제곱 변수 시뮬레이션에 적용한다.
• 카이제곱 분포의 가산성 특성을 활용하여, 낮은 자유도 및 평균 회귀 역학을 포함한 모든 파rameter 영역에서의 방법론 적용 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 가우시안 랜덤 변수의 거듭제곱 합을 이용하여 중심 카이제곱 밀도의 새로운 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 Marsaglia의 폴라 방법은 얼마나 일반화되어서 일반화된 가우시안 분포에서 효율적이고 정확한 표본 추출을 가능하게 하는가?
• RQ3 Beasley-Springer-Moro 방법을 통해 일반화된 가우시안 분포의 역누적분포함수는 어느 정도 정확도로 근사될 수 있는가?
• RQ4 낮은 자유도 및 도달 가능한 0 경계 조건 하에서 Heston 모델의 비중앙 카이제곱 변수 시뮬레이션에 제안된 표본 추출 방법이 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 카이제곱 분포의 가산성 특성을 활용하여 제안된 방법들이 Heston 모델의 모든 파rameter 영역에 일반적으로 적용 가능한가?

주요 결과

• 일반화된 가우시안 랜덤 변수의 거듭제곱 합을 이용한 중심 카이제곱 밀도의 새로운 표현이 도출되었으며, 이는 후속 표본 추출 방법의 기초를 마련한다.
• Marsaglia의 폴라 방법이 일반화된 가우시안 표본 추출으로 성공적으로 확장되어 정확하고 강건하며 효율적인 수용-기각 알고리즘이 도출되었다.
• Beasley-Springer-Moro 방법이 일반화된 가우시안 표본 추출에 적응되어 역누적분포함수 근사 정확도가 10번째 소수 자리까지 확보되었다.
• 제안된 표본 추출 프레임워크는 Heston 모델에서 비중앙 카이제곱 변수의 고정밀도, 강건성, 효율성 있는 시뮬레이션을 가능하게 하였으며, 특히 낮은 자유도 영역에서 뛰어난 성능을 발휘한다.
• 카이제곱 분포의 가산성 특성 덕분에, 0 경계가 흡인성이고 도달 가능한 경우를 포함하여 Heston 모델의 모든 파rameter 영역에 대해 제안된 방법이 일반적으로 적용 가능하다.