[논문 리뷰] Positive stochastic volatility simulation

William Halley, Simon J. A. Malham외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 54인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Marsaglia의 폴라 방법과 Beasley-Springer-Moro 역행렬 기법의 새로운 표현 및 확장 방식을 사용하여 일반화된 가우시안 및 중심 카이제곱 분포에 대한 효율적이고 정확한 샘플링 방법을 제안한다. 이 방법은 특히 외환 시장에서 흔한 낮은 자유도 및 평균 회귀 성격의 변동성 제도에서, Heston 모델 내에서 고정밀도, 강건성, 효율성을 갖춘 비중앙 카이제곱 분포 샘플링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The transition probability of a Cox-Ingersoll-Ross process can be represented by a non-central chi-square density. First we prove a new representation for the central chi-square density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Second we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing a simple, exact, robust and efficient acceptance-rejection method for generalized Gaussian sampling and thus central chi-square sampling. Third we derive a simple, high-accuracy, robust and efficient direct inversion method for generalized Gaussian sampling based on the Beasley-Springer-Moro method. Indeed the accuracy of the approximation to the inverse cumulative distribution function is to the tenth decimal place. We then apply our methods to non-central chi-square variance sampling in the Heston model. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. Using the additivity property of the chi-square distribution, our methods apply in all parameter regimes.

연구 동기 및 목표

• 중앙 카이제곱 밀도의 새로운 표현을 일반화된 가우시안 난수의 거듭제곱 합을 통해 도출한다.
• Marsaglia의 폴라 방법을 일반화된 가우시안 분포로 확장하여 정확하고 효율적인 수용-기각 샘플링 알고리즘을 가능하게 한다.
• Beasley-Springer-Moro 기법을 활용한 일반화된 가우시안 분포 샘플링을 위한 고정밀 직접 역행렬 방법을 유도한다.
• 이러한 방법들을 Heston 모델 내 비중앙 카이제곱 분포의 분산 샘플링에 적용하며, 특히 낮은 자유도 및 도달 가능한 영점 경계가 존재하는 제도에서 효과적으로 작동한다.
• 카이제곱 분포의 가산성 성질을 활용하여 모든 매개변수 제도에서 강건성과 효율성을 유지한다.

제안 방법

• 일반화된 가우시안 난수의 거듭제곱 합을 사용하여 중심 카이제곱 밀도의 새로운 표현을 유도한다.
• Marsaglia의 폴라 방법을 일반화된 가우시안 분포 샘플링으로 확장하여 단순하고 정확하며 강건하고 효율적인 수용-기각 알고리즘을 구현한다.
• Beasley-Springer-Moro 근사법을 기반으로 한 직접 역행렬 방법을 개발하여, 역누적분포함수의 근사 정밀도를 제10자리까지 확보한다.
• 기존의 수치적 역행렬 기법을 활용하여 일반화된 가우시안 분포의 누적분포함수의 역함수를 고정밀도로 근사한다.
• 자유도에 따른 카이제곱 분포의 가산성 성질을 활용하여, Heston 모델 내 비중앙 카이제곱 분포 샘플링에 이러한 방법들을 적용한다.
• 모든 매개변수 제도에서 검증되었으며, 특히 낮은 자유도 및 흡인성이고 도달 가능한 영점 경계가 존재하는 경우에도 성능이 우수하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중앙 카이제곱 밀도는 일반화된 가우시안 난수의 거듭제곱 합을 통해 표현될 수 있는가?
• RQ2 Marsaglia의 폴라 방법은 일반화된 가우시안 분포로 확장되어 효율적인 수용-기각 샘플링을 가능하게 하는가?
• RQ3 Beasley-Springer-Moro 방법은 일반화된 가우시안 분포에 대해 고정밀도 역행렬을 달성하기 위해 적응 가능한가?
• RQ4 이러한 샘플링 방법들은 낮은 자유도 및 평균 회귀 성격의 변동성 조건에서 Heston 모델 내 비중앙 카이제곱 분포의 분산 샘플링에 얼마나 효과적인가?
• RQ5 제안된 방법들은 영점 경계가 도달 가능한 경우를 포함한 모든 매개변수 제도에서 강건성과 효율성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 중앙 카이제곱 밀도는 일반화된 가우시안 난수의 거듭제곱 합을 통해 성공적으로 표현되었으며, 새로운 샘플링 경로를 가능하게 하였다.
• Marsaglia의 폴라 방법이 일반화된 가우시안 분포로 확장되어 단순하고 정확하며 강건하고 효율적인 수용-기각 샘플링 알고리즘이 도출되었다.
• Beasley-Springer-Moro 기반의 역행렬 방법은 역누적분포함수의 근사 정밀도를 제10자리까지 확보하였다.
• 제안된 방법들은 Heston 모델 내에서 고정밀도, 강건성, 효율성을 갖춘 비중앙 카이제곱 분포 샘플링을 가능하게 하였으며, 특히 낮은 자유도 제도에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 카이제곱 분포의 가산성 성질 덕분에 모든 매개변수 제도에서 강건성과 효율성이 유지되었으며, 특히 흡인성이고 도달 가능한 영점 경계가 존재하는 경우에도 유사한 성능을 유지하였다.