[논문 리뷰] Positive Eigenfunctions of Markovian Pricing Operators: Hansen-Scheinkman Factorization and Ross Recovery

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 마코프 과정과 양의 세미마르팅글 유도 요인을 갖는 마코프성 자산 가격 결정 모델에 대한 스펙트럼 이론을 수립하며, 재귀적 양의 고유함수의 유일성을 증명한다. 이는 하이젠-셰인크만 분해와 로스의 복원 정리(Recovery Theorem)를 일반 보렐 우측 과정(Borel right processes)으로 확장하여, 폭발하거나 갇히는 단기 금리 행동을 배제함으로써 경제적으로 안정된 역학을 보장한다.

ABSTRACT

This paper develops a spectral theory of Markovian asset pricing models where the underlying economic uncertainty follows a continuous-time Markov process X with a general state space (Borel right process (BRP)) and the stochastic discount factor (SDF) is a positive semimartingale multiplicative functional of X. A key result is the uniqueness theorem for a positive eigenfunction of the pricing operator such that X is recurrent under a new probability measure associated with this eigenfunction (recurrent eigenfunction). As economic applications, we prove uniqueness of the Hansen and Scheinkman (2009) factorization of the Markovian SDF corresponding to the recurrent eigenfunction, extend the Recovery Theorem of Ross (2013) from discrete time, finite state irreducible Markov chains to recurrent BRPs, and obtain the long maturity asymptotics of the pricing operator. When an asset pricing model is specified by given risk-neutral probabilities together with a short rate function of the Markovian state, we give sufficient conditions for existence of a recurrent eigenfunction and provide explicit examples in a number of important financial models, including affine and quadratic diffusion models and an affine model with jumps. These examples show that the recurrence assumption, in addition to fixing uniqueness, rules out unstable economic dynamics, such as the short rate asymptotically going to infinity or to a zero lower bound trap without possibility of escaping.

연구 동기 및 목표

• 일반 연속시간 마코프 과정과 양의 세미마르팅글 유도 요인을 갖는 마코프성 자산 가격 결정 모델에 대한 스펙트럼 이론을 개발한다.
• 새로운 확률 측도 하에서 상태 과정의 재귀성을 보장하는 양의 고유함수의 유일성을 확립한다.
• 이산 유한상태 체인에서의 하이젠-셰인크만 분해와 로스의 복원 정리를 일반 보렐 우측 과정으로 확장한다.
• 재귀 조건 하에서 가격 결정 연산자의 장기 만기 점근적 성질을 도출한다.
• 아핀, 이차, 점프-디퓨전 모델에서 재귀적 고유함수의 존재를 위한 충분조건과 명시적 예시를 제공한다.

제안 방법

• 일반 상태 공간을 갖는 연속시간 마코프 과정을 모델링하기 위해 보렐 우측 과정(Borel right processes, BRPs) 이론을 사용한다.
• 스토캐스틱 디스count 요인을 상태 과정의 함수로 표현하기 위해 곱성능 반마르팅글 유도 개념을 적용한다.
• 이 고유함수가 유도하는 측도 하에서 과정이 재귀적일 조건 하에 가격 결정 연산자의 양의 고유함수의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 마코프성 가격 결정 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 활용하여 장기 만기 점근적 성질과 인수분해 구조를 분석한다.
• 아핀 및 이차 디퓨전 모델에서 재귀적 고유함수의 존재를 위한 충분조건을 유도하며, 점프가 포함된 경우도 포함한다.
• 고유함수를 이용해 새로운 확률 측도를 정의함으로써 상태 과정이 재귀적임을 보장하고, 위험 중립 동역학으로부터 물리적 측도를 복원할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토캐스틱 디스count 요인의 하이젠-셰인크만 분해가 연속시간 마코프 과정으로 유일하게 확장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 로스의 복원 정리는 이산, 유한, 기약 가능한 마코프 체인에서 일반 보렐 우측 과정과 일반 상태 공간으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 재귀 조건 하에서 가격 결정 연산자의 장기 만기 점근적 성질은 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 아핀, 이차, 점프-디퓨전 모델에서 재귀적 고유함수의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 기본 마코프 과정이 이 고유함수가 유도하는 측도 하에서 재귀적일 경우, 가격 결정 연산자의 양의 고유함수는 유일하게 결정된다.
• 스토캐스틱 디스count 요인의 하이젠-셰인크만 분해는 재귀적 고유함수에 의해 유일하게 특징지어지며, 이는 이론의 유효성을 이산 모델을 넘어서 확장한다.
• 로스의 복원 정리는 연속시간, 일반 상태 공간 마코프 과정으로 일반화되어 위험 중립 동역학으로부터 물리적 측도를 복원할 수 있다.
• 재귀 조건 하에서 가격 결정 연산자의 장기 만기 점근적 성질은 주요 고유값과 고유함수로 특징지어지며, 수렴 속도는 스펙트럼 갭에 의해 결정된다.
• 아핀 및 이차 디퓨전 모델에서 재귀적 고유함수의 존재를 위한 충분조건이 도출되었으며, 폭발하거나 갇히는 동역학(예: 단기 금리가 발산하거나 도달한 후 탈출 불가능한 영하한계에 도달하는 것)을 피하는 명시적 예시가 구성되었다.
• 재귀성 가정은 단기 금리가 유계가 아니거나 갇히는 경우를 배제함으로써 경제적으로 안정된 동역학을 보장하며, 신뢰할 수 있는 복원 및 가격 결정을 위한 구조적 기반을 제공한다.