[논문 리뷰] Positive Polynomials and Projections of Spectrahedra

João Gouveia, Tim Netzer|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 14.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스펙트라헤드론의 사영에 대해, 기본적으로 닫힌 준대수집합이 아닌 집합을 다루는 데 적합한 이차 모듈러스 구조를 도입하여, 이러한 집합에서 정수의 다항식을 캡처하는 바탕이 되는 Positivstellensatz를 수립한다. 이는 스펙트라헤드론의 사영의 폐포가 다시 한 번 스펙트라헤드론의 사영임을 증명하며, 비노출 면에 관한 열린 문제를 해결하고, 곡선의 볼록껍질과 다항사상의 상을 통합하는 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

This work is concerned with different aspects of spectrahedra and their projections, sets that are important in semidefinite optimization. We prove results on the limitations of so called Lasserre and theta body relaxation methods for semialgebraic sets and varieties. As a special case we obtain the main result of the paper "Exposed faces of semidefinite representable sets" of Netzer, Plaumann and Schweighofer. We also solve the open problems from that work. We further prove some helpful facts which can not be found in the existing literature, for example that the closure of a projection of a spectrahedron is again such a projection. We give a unified account of several results on convex hulls of curves and images of polynomial maps. We finally prove a Positivstellensatz for projections of spectrahedra, which exceeds the known results that only work for basic closed semialgebraic sets.

연구 동기 및 목표

• 기본적으로 닫힌 준대수집합을 초월한, 스펙트라헤드론의 사영을 대수적 양의 증거로 특성화함으로써 기존 결과를 확장한다.
• 스펙트라헤드론 사영에서 비노출 면에 관한 이전 연구의 열린 질문을 해결한다.
• 스펙트라헤드론의 사영의 기본 성질, 특히 폐쇄 불변성을 확립한다.
• 곡선의 볼록껍질과 다항사상의 상에 관한 결과를 통합하고 일반화한다.
• 다항식 최적화에서 Lasserre 및 써모 바디 근사법을 위한 구축 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 선형 행렬 다항식 $\mathscr{A}$ 에서 유도된, $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ 로 표기되는 이차 모듈러스 구조를 도입하여, 제약 조건이 있는 제곱합을 캡처한다.
• 카라테오도리의 정리를 사용하여 행렬 다항식을 랭크-1 항들의 유한한 합으로 표현함으로써, 유한차원 근사를 가능하게 한다.
• 직교 조건 $B_i \circ M = 0$ 로 정의된 선형 부분공간과의 교차 및 선형 사상에 의한 스펙트라헤드론의 사영을 적용한다.
• $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ 가 유한차원 부분공간에 속하고, 스펙트라헤드론의 사영임을 증명한다.
• 리프팅 기법을 활용: $\widetilde{S} \subseteq \mathbb{R}^{n+m}$ 인 스펙트라헤드론이 $\overline{\operatorname{conv}(S)}$ 로 사영되며, 이는 양의 증거의 구축을 가능하게 한다.
• 유한차원 근사를 사용하고 볼록껍질을 고려하여, 스펙트라헤드론의 사영의 폐포가 다시 한 번 스펙트라헤드론의 사영임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트라헤드론의 사영은 기본적으로 닫힌 준대수집합이 아니므로, 이러한 집합에 대해 Positivstellensatz를 수립할 수 있는가?
• RQ2 일반 준대수집합과 보편체에 적용할 때, Lasserre 및 써모 바디 근사법의 한계는 무엇인가?
• RQ3 스펙트라헤드론의 사영의 폐포는 다시 한 번 스펙트라헤드론의 사영인가?
• RQ4 곡선의 볼록껍질 또는 다항사상의 상은 스펙트라헤드론의 사영으로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 어떤 볼록집합이 스펙트라헤드론의 사영이 되기 위한 필요 및 충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트라헤드론의 사영의 폐포가 다시 한 번 스펙트라헤드론의 사영임을 증명하여, 볼록대수기하학의 기초적 질문을 해결한다.
• 스펙트라헤드론의 사영에 대해 새로운 Positivstellensatz를 증명하여, 이러한 집합에서 정수의 다항식이 항상 제곱합과 특정한 행렬다항식 항들의 선형조합임을 보여준다.
• 논문은 [17]에서 제기한 열린 문제를 해결하며, 스펙트라헤드론 사영 내에서 비노출 면의 구체적 예를 구성한다.
• 곡선의 볼록껍질과 다항사상의 상에 관한 결과를 통합하여, 이들이 모두 스펙트라헤드론의 사영임을 보여준다.
• 유한차원 절단 $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ 가 스펙트라헤드론의 사영임을 증명하여, 유한차원 최적화 방법을 가능하게 한다.
• 볼록집합이 스펙트라헤드론의 사영임과, 중첩된, 유한차원의, 스펙트라헤드론 사영과 호환되는 이차 모듈러스가 존재함이 동치임을 증명한다.