[논문 리뷰] Positive scalar curvature and a new index theory for noncompact manifolds

Stanley Chang, Shmuel Weinbeger외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 11.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 적절한 고갈을 갖는 비콤팩트 다성분에서 새로운 인덱스 이론을 제안하며, 상대적 군 C*-대수와 최대 Baum-Connes 사상의 도구를 사용하여 이국적인 양의 스칼라 곡률 현상을 탐지한다. 각각의 콤팩트 고갈 성분이 그러한 메트릭을 갖는 반면 전반적으로는 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭을 갖지 못하는 비콤팩트 다성분을 구성하며, 또 다른 다성분에서는 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간에 비가чёт 수의 연결 성분이 존재함을 보여, 비콤팩트 설정에서 새로운 형태의 기하학적 복잡성을 입증한다.

ABSTRACT

In this article, we develop a new index theory for noncompact manifolds endowed with an admissible exhaustion by compact sets. This index theory allows us to provide examples of noncompact manifolds with exotic positive scalar curvature phenomena.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 경우에서의 도구를 확장하여, 적절한 고갈을 갖는 비콤팩트 다성분에 대한 새로운 인덱스 이론을 개발한다.
• 최대 상대적 군 C*-대수를 사용하여 경계가 있는 다성분에 대한 상대적 Gromov-Lawson-Rosenberg 추측을 제시한다.
• 콤팩트 경우에서는 관찰되지 않는 이국적인 양의 스칼라 곡률 행동을 보이는 비콤팩트 다성분을 구성한다.
• 비콤파크트 다성분에서 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간이 비가чёт 수의 연결 성분을 가질 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 국소화 대수와 일반화된 점근적 준동형을 사용하여, KO_*(M, ∂M)에서 KO_*(C^*_max(π₁(M), π₁(∂M)))로 향하는 최대 상대 Baum-Connes 사상 μ_max를 정의한다.
• 다성분과 그 경계의 기본군 자료를 모두 포함하는 상대 군 C*-대수 C^*_max(π₁(M), π₁(∂M))를 구성한다.
• Gromov-Lawson 수술 정리를 적용하여 스핀 다성분의 연결 합에서 메트릭을 수정함으로써 양의 스칼라 곡률를 유지한다.
• M×ℝ 위의 딜라 연산자의 상대 고차 인덱스를 사용하여, 양의 스칼라 곡률 메트릭 공간의 서로 다른 연결 성분을 탐지한다.
• Pimsner 정리와 Milnor 수열을 활용하여 고갈과 관련된 C*-대수 A(M)의 KO-이론을 계산한다.
• Xie-Yu [42]의 상대 인덱스 정리를 적용하여, M×ℝ 위의 메트릭이 합성원소에서 다를 경우, KO_*(A(M))에서 상대 인덱스가 0이 아니라는 것을 보여, 상대 인덱스가 비영임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 다성분이 각 콤팩트 고갈 성분에서 양의 스칼라 곡률 메트릭을 갖지만, 전반적으로 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭을 갖지 못할 수 있는가?
• RQ2 비콤파크트 다성분에서 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간의 서로 다른 연결 성분을 탐지할 수 있는 위상적 또는 해석적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 어떻게 상대 인덱스 이론을 적절한 고갈을 갖는 비콤파크트 다성분으로 확장하여 이국적인 양의 스칼라 곡률 현상을 탐지할 수 있는가?
• RQ4 비콤파크트 다성분에서 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간이 비가чёт 수의 연결 성분을 가질 수 있으며, 이러한 현상을 탐지하는 불변량은 무엇인가?
• RQ5 일부 비콤파크트 대칭 공간에서 군적 등장이 자연스러운 메트릭과 일치하지 않을 경우, 이는 균일하게 양의 스칼라 곡률를 갖지 못하는 데에 장애가 되는가?

주요 결과

• 각각의 경계에서 콤팩트 집합 (M_i, ∂M_i)로 이루어진 적절한 고갈을 갖는 비콤파크트 다성분 M 이 존재하며, 각 성분은 경계에서 콤팩트하게 양의 스칼라 곡률 메트릭을 갖지만, M 자체는 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭을 갖지 못한다.
• 비콤파크트 다성분 M에서 균일하게 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간 PS(M)는 비가чёт 수의 연결 성분을 가질 수 있으며, 이는 무한한 수의 합성원소에서 다름을 보이는 메트릭을 구성함으로써 입증된다.
• M×ℝ 위의 딜라 연산자의 상대 고차 인덱스가 무한한 수의 합성원소에서 메트릭이 다를 경우, KO_*(A(M))에서 0이 아니며, 이는 PS(M)의 서로 다른 경로 성분에 속해 있음을 증명한다.
• 상대 인덱스 ind(D_{β,β'})는 KO_*(ℝ) → KO_*(C^*_r(π₁(N)))의 상에 속하지 않으며, 이는 C*-대수 A(M)의 K-이론에서 비자명성을 암시한다.
• Milnor 수열은 큰 i에 대해 KO_*(D_i^*)에서 상대 인덱스의 비자명성이 KO_*(A(M))에서의 비자명성을 보장하므로, PS(M)에서 서로 다른 성분임을 확인한다.
• 구성은 고차 Â-위상이 비자명한 스핀 다성분 W에 기반하며, 이는 서로 다른 양의 스칼라 곡률 메트릭 α와 α′를 N에서 생성하고, 이를 사용해 M 위에 비가чёт 수의 메트릭 가족을 구성한다.