[논문 리뷰] Positive solutions to an elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ of the Kirchhoff type

Yisheng Huang, Zeng Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$에서 $N \geq 3$ 및 $2 < p \leq 4$ 인 키르히호프 유형 타원형 방정식에 대한 양해를 존재함을 변분 방법을 통해 미약한 조건을 만족하는 잠재력 $V(x)$ 하에서 증명한다. 작고 $b > 0$ 일 때 해의 존재를 보이고, $N \geq 4$ 일 때 큰 $b$ 에서는 존재하지 않음을 증명하며, 이는 이전 결과를 확장하고 자동적인 경우 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 에 대해 스케일링을 통해 전역적인 구조 기술을 제공한다. 결과적으로 이전 연구에서 요구된 Pohozaev 유형 조건의 필수성에 부분적으로 답한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the following Kirchhoff type problem $$\left\{\aligned&amp;-\biggl(a + b\int_{\mathbb{R}^N} | abla u|^2 dx \biggr) Δu + V(x) u = |u|^{p-2}u &amp; ext{ in } \mathbb{R}^N,\cr &amp;u\in H^1(\mathbb{R}^N), \endaligned ight. \eqno{(\mathcal{P}_{a,b})} $$ where $N\geq3$, $20$ are parameters and $V(x)$ is a potential function. Under some mild conditions on $V(x)$, we prove that $(\mathcal{P}_{a,b})$ has a positive solution for $b$ small enough by the variational method, a non-existence result is also established in the cases $N\geq4$. Our results in the case $N=3$ partial improve the results in \cite{G15,LY14} and our results in the cases $N\geq4$ are totally new to the best of our knowledge. By combining the scaling technique, we also give a global description on the structure of the positive solutions to the autonomous form of $(\mathcal{P}_{a,b})$, that is $V(x)\equivλ&gt;0$. This result can be seen as a partial complement of the studies in \cite{A12,A13}.

연구 동기 및 목표

• 키르히호프 유형 방정식에 대한 $ℝ^N$에서의 양해 존재에 있어 Pohozaev 유형 조건이 필수적인지 조사하기.
• 특히 $b > 0$ 가 작을 때, $V(x)$ 에 대해 미약한 조건을 만족하는 $p \in (2,4] \cap (2,2^*)$ 에 대해 양해의 존재를 확립하기.
• $N \geq 4$ 인 경우 큰 $b$ 에 대해 비존재 결과를 증명하기.
• 스케일링 기법을 사용하여 자동적인 경우 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 에 대해 양해의 전역적 기술을 제공하기.

제안 방법

• 에너지 함수 $\mathcal{J}_V(u)$ 를 음의 네하리 다양체 $\mathcal{N}_V^-$ 상에서 최소화하기 위해 변분 방법을 사용한다.
• 에켈란드 변분 원리를 적용하여 $\mathcal{J}_V(u_n) = m^- + o_n(1)$ 과 $\mathcal{J}_V'(u_n) = o_n(1)$ 이 $H^{-1}(\mathbb{R}^N)$ 에서 성립하는 팔라이스-스무스 수열 $\{u_n\}$ 을 추출한다.
• 암시함수정리로 $l$ 이 작을 때 $t_n(l)u_n + lw \in \mathcal{N}_V^-$ 가 되도록 하는 $C^1$-곡선 $t_n(l)$ 을 구성하여 변화 분석을 가능하게 한다.
• 자기적 문제 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 에 스케일링 기법을 적용하여 양해의 전역적 기술을 유도한다.
• 네하리 다양체 $\mathcal{N}_V^-$ 는 조건 $\mathcal{J}_V'(u) = 0$ 과 $\mathcal{J}_V(u) = m^-$ 를 통해 $\mathcal{J}_V$ 의 임계점을 특성화한다.
• 사전 추정과 얀의 부등식을 사용하여 $N \geq 4$ 에서 큰 $b$ 에 대해 모순을 도출함으로써 비존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 키르히호프 유형 문제에 대해 $\mathbb{R}^N$ 에서의 양해 존재에 있어 Pohozaev 유형 조건이 필수적인가?
• RQ2 $V(x)$ 에 강한 Pohozaev 유형 조건을 부과하지 않고도 $p \in (2,4]$ 에 대해 양해를 확립할 수 있는가?
• RQ3 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 일 때 양해의 구조는 어떠한가?
• RQ4 $N \geq 4$ 인 경우 큰 $b$ 에 대해 비자명한 해의 비존재가 발생하는가?
• RQ5 스케일링 기법은 자동적인 경우 양해의 전역적 행동을 기술하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 $a > 0$ 와 $b < b_*(a)$ 에 대해, $N \geq 3$, $2 < p \leq 4$, $V(x)$ 가 조건 $(V)$ 를 만족할 때, 양해가 존재한다. 여기서 $b_*(a)$ 는 $a$ 에 따라 달라지는 양의 임계값이다.
• 특히 $N = 3$ 인 경우, 이전 결과인 리와 예 [20] 및 군[9] 를 부분적으로 개선하며, 강한 Pohozaev 유형 조건 없이도 $p \in (2,4]$ 에 대해 존재를 확장한다.
• $N \geq 4$ 인 경우, 비존재 결과를 확립한다: 충분히 큰 $b$ 에 대해 비자명한 해는 존재하지 않는다. 이는 저자들에 따르면 최신 연구에서의 새로운 결과이다.
• 스케일링 기법은 자동적인 경우 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 에 대해 양해 집합의 완전한 전역적 기술을 제공하며, 이는 이전 연구 [1, 2] 와 보완된다.
• 에너지 함수 $\mathcal{J}_V(u)$ 는 음의 네하리 다양체 $\mathcal{N}_V^-$ 상에서 최소값을 취하며, 최소화자는 $(\mathcal{P}_{a,b})$ 의 양해이다.
• $N \geq 4$ 에서 큰 $b$ 에 대한 비존재는 부등식 $b\mathfrak{A}_u^2 - C_2 b^{-2^*/(4-2^*)} \geq 0$ 에 기반하며, $\mathfrak{A}_u$ 의 증가와 $2^* < 4$ 인 지수 때문에 큰 $b$ 에서는 이를 만족할 수 없다.