[논문 리뷰] Positivity and vanishing theorems for ample vector bundles

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴act 켈러 다양체 위에서 앰플리티브 벡터 번들의 대칭 거듭제곱을 그의 딜레트먼트 번들로 휠린 $S^kE \otimes \det E$ 는 임의의 $k \geq 0$ 에 대해 나카노-양성이고 이중-나카노-양성임을 증명한다. 곡률 공식과 양성도 전파 기법을 사용하여 도르베올 코homology에 대한 새로운 퇴화 정리를 유도하며, $q \geq 1$ 일 때 $H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E) = H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E) = 0$ 임을 증명한다. 이 결과는 그리피스-양성 번들 및 임의의 휠린에 대해 임계값 $k_0$ 를 통해 일반화된다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Nakano-positivity and dual-Nakano-positivity of certain adjoint vector bundles associated to ample vector bundles. As applications, we get new vanishing theorems about ample vector bundles. For example, we prove that if $E$ is an ample vector bundle over a compact Kähler manifold $X$, $S^kE s \det E$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$. Moreover, $H^{n,q}(X,S^kE s \det E)=H^{q,n}(X,S^kE s \det E)=0$ for any $q\geq 1$. In particular, if $(E,h)$ is a Griffiths-positive vector bundle, the naturally induced Hermitian vector bundle $(S^kE s \det E, S^kh s \det h)$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$.

연구 동기 및 목표

• 앰플리티브 벡터 번들에 관련된 조정 번들에 대한 나카노-양성 및 이중-나카노-양성을 확립하기 위해.
• 곡률의 양성도를 이용한 복소기하학에서 코호몰로지 군에 대한 새로운 퇴화 정리를 증명하기 위해.
• 대칭 거듭제곱의 양성 힐베르트 메트릭 존재성을 조사하기 위해.
• 원래 번들이 나카노-양성이 아닐지라도 관련 번들이 양성 메트릭을 가질 수 있음을 보여주어 그리피스 추측에 대한 증거를 제공하기 위해.
• 비에르-선형 번들 또는 임의의 벡터 번들에 대한 일반적인 휠린에 대해 임계값 $k_0$ 를 통해 양성도 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 기저 힐베르트 메트릭 $h$ 에서 유도된 힐베르트 메트릭 $S^k h$ 를 사용하여 대칭 거듭제곱 $S^kE$ 의 곡률 공식을 사용하기 위해.
• 곡률 공식 $R_{i\bar j A \bar B} = \sum_{\alpha,\beta} \sum_{s,t} R_{i\bar j \alpha \bar \beta} \delta_{\alpha \alpha_s} \delta_{\beta \beta_t} \delta_{A_s B_t}$ 을 사용하여 $S^kE$ 의 양성도를 분석하기 위해.
• 관련 이차형식 $\sum R_{i\bar j A \bar B} u_{iA} \overline{u}_{jB}$ 가 정의역 양성임을 보여 $S^kE \otimes \det E$ 의 나카노-양성도를 증명하기 위해.
• 그리피스-양성도 및 이중-나카노-양성도가 대칭 텐서 거듭제곱과 몫 구성에서 보존됨을 이용하기 위해.
• 나카노-양성도와 이중-나카노-양성도 간의 쌍대성 관계를 활용하여 $\partial\bar\partial$-레마와 양성도 정리를 통해 코homological 퇴화 결과를 도출하기 위해.
• 베르느드스톤 및 다른 이들의 피브레이션에서의 양성도 결과를 적용하여 특수한 경우의 주요 정리를 정당화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 E가 앰플리티브일 때 $S^kE \otimes \det E$ 에 대해 나카노-양성도와 이중-나카노-양성도를 확립할 수 있는가?
• RQ2 E에 그리피스-양성 메트릭이 존재하면 $S^kE \otimes \det E$ 가 나카노-양성도와 이중-나카노-양성도를 모두 만족하는가?
• RQ3 F가 비에르-선형 또는 임의의 경우일 때 어떤 k에 대해 $S^kE \otimes F$ 가 나카노-양성도와 이중-나카노-양성도를 만족하는가?
• RQ4 S^kE 의 양성도를 사용하여 $H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E)$ 에 대한 새로운 퇴화 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ5 E가 나카노-양성이 아니지만 $S^kE$ 는 양성일 수 있는 반례는 존재하는가, 예를 들어 $T\mathbb{P}^n$ 의 경우처럼?

주요 결과

• 임의의 컴팩트 켈러 다양체 $X$ 위의 앰플리티브 벡터 번들 $E$ 에 대해, 모든 $k \geq 0$ 에 대해 $S^kE \otimes \det E$ 는 나카노-양성이고 이중-나카노-양성이다.
• $H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E)$ 와 $H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E)$ 는 모든 $q \geq 1$ 에 대해 퇴화한다.
• $(E,h)$ 가 그리피스-양성일 경우, 모든 $k \geq 0$ 에 대해 $(S^kE, S^k h)$ 는 나카노-양성이고 이중-나카노-양성이다.
• 임의의 앰플리티브 $E$ 와 비에르-선형 번들 $F$ 에 대해, $k_0 = k_0(S,E)$ 가 존재하여 모든 $k \geq k_0$ 에 대해 $S^kE \otimes F$ 는 나카노-양성이고 이중-나카노-양성이다.
• 임의의 앰플리티브 $E$ 와 임의의 벡터 번들 $F$ 에 대해, $k_0 = k_0(S,E,F)$ 가 존재하여 모든 $k \geq k_0$ 에 대해 $S^kE \otimes F$ 는 나카노-양성이고 이중-나카노-양성이다.
• Fubini-Study 메트릭은 $T\mathbb{P}^n$ 에서 나카노-양성이 아니지만, 유도된 메트릭을 가진 $S^kT\mathbb{P}^n$ 는 $k \geq 2$ 에서 나카노-양성이고 이중-나카노-양성이다.