[논문 리뷰] Strict and non strict positivity of direct image bundles

Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 카플러 fibration에서 휘어짐이 있는 상대적 캐논리컬 번들의 스위치된 버전과 관련된 직접 이미지 번들의 휘어짐 긍정성에 대해 연구한다. 명시적인 휘어짐 공식을 사용하여, 스위치된 선 번들의 섬유 방향에서 엄격히 양의 휘어짐을 가지는 경우, 직접 이미지 번들의 엄격한 휘어짐 긍정성이 성립하는 것은 그 피브레이션이 비자명할 때에 한하여 성립함을 증명한다 (카오다라-스펜서 클래스가 0이 아님). 반대로, 카오다라-스펜서 클래스가 비자명하더라도 엄격한 휘어짐 긍정성이 성립하지 않을 수 있다. meta_description: 카플러 피브레이션에서 직접 이미지 번들의 엄격한 휘어짐 긍정성에 대해 연구; 스위치된 선 번들이 섬유 방향에서 양일 경우, 피브레이션이 비자명할 때에만 휘어짐이 엄격히 양이 됨을 증명.

ABSTRACT

This paper is a sequel to \cite{Berndtsson}. In that paper we studied the vector bundle associated to the direct image of the relative canonical bundle of a smooth Kähler morphism, twisted with a semipositive line bundle. We proved that the curvature of a such vector bundles is always semipositive (in the sense of Nakano). Here we adress the question if the curvature is strictly positive when the Kodaira-Spencer class does not vanish. We prove that this is so provided the twisting line bundle is stricty positive along fibers, but not in general.

연구 동기 및 목표

• 직접 이미지 번들이 스위치된 상대적 캐논리컬 번들과 연결되어 있을 때 그 휘어짐이 엄격히 양이 되는 조건을 규명하는 것.
• 카오다라-스펜서 클래스가 휘어짐의 열화를 결정하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.
• 직업적일 경우와 엄격히 양의 스위치된 선 번들이 있을 경우의 휘어짐 행동을 대조하는 것.
• 비자명한 피브레이션 구조가 존재함에도 불구하고 휘어짐이 0이 되는 조건을 설정하는 것.
• 휘어짐 공식이 웰-피터슨 메트릭에 대한 울프러트의 공식과 같은 기존 결과들과 어떻게 연결되는지 밝히는 것.

제안 방법

• 매끄러운 카플러 피브레이션의 맥락에서 $L^2$-메트릭과 나카노 긍정성의 개념을 사용하여 직접 이미지 번들의 명시적 휘어짐 공식을 유도하는 것.
• 카오다라-스펜서 클래스가 미분형식에 대해 벡터장과의 계약을 통해 작용하는 형식론을 적용하는 것.
• 스위치된 선 번들의 메트릭 $\rho$와 관련된 벡터장 $V_{\rho}$를 사용하여 휘어짐 성분을 표현하는 것.
• 스위치된 $(0,1)$-형식 $k_t^{\rho}$의 노름과 휘어짐 성분 $c(\rho)$ 사이의 관계를 묶는 슈마허의 공식을 활용하는 것.
• $\Box$-라플라스 연산자의 역행을 사용하여 휘어짐 적분을 조화형 대표자로 표현하는 것.
• 섬유에 카플러-아인슈타인 메트릭이 존재하는 상대적 캐논리컬 번들의 경우로 특수화하여 울프러트의 웰-피터슨 메트릭 공식을 재구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접 이미지 번들의 휘어짐이 엄격히 양이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 카오다라-스펜서 클래스가 비자명함에도 불구하고 휘어짐이 0이 될 수 있는가?
• RQ3 스위치된 선 번지의 섬유 방향에서의 긍정성은 휘어짐의 엄격성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 스위치된 번지가 자명할 경우, 엄격한 휘어짐 긍정성에 기하학적 장애물이 존재하는가?
• RQ5 휘어짐 공식을 사용하여 웰-피터슨 메트릭에 대한 울프러트의 공식과 같은 기존 결과를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 스위치된 선 번지가 자명할 경우, 직접 이미지 번들의 휘어짐이 엄격히 양이 되는 것은 카오다라-스펜서 클래스가 비자명할 때에 한하며, 이 경우 휘어짐은 $\langle \Theta^E u, u \rangle = \| \mathcal{K}_t . u \|^2$ 로 주어진다.
• 스위치된 선 번지가 섬유 방향에서 엄격히 양의 휘어짐을 가지는 경우, 카오다라-스펜서 클래스가 비자명할 때마다 직접 이미지 번들의 휘어짐이 엄격히 양이 된다.
• 예를 들어, 종속 섬유가 $g \geq 3$인 히퍼에일리프틱 리만 곡면인 비자명한 피브레이션의 예시들이 존재하며, 이 경우 카오다라-스펜서 클래스는 비자명하지만 모든 절편에 대해 휘어짐이 0이 된다.
• 스위치된 선 번지가 자명할 경우, 피브레이션이 비자명하더라도 휘어짐이 열화될 수 있다 (엄격히 양이 아님).
• 섬유에 카플러-아인슈타인 메트릭이 존재하는 상대적 캐논리컬 번지의 경우로 특수화할 때, 휘어짐 공식은 웰-피터슨 메트릭에 대한 울프러트의 공식을 복원한다.
• 스위치된 선 번지가 상대적으로 앰플리피케이션(섬유 방향에서 양)일 경우, 휘어짐이 정확히 0이 되는 것은 피브레이션이 무한소적으로 자명할 때에 한한다.