[논문 리뷰] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part I: The one-dimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 29.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 99인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다성분, 화학 반응성 압축성 오일러 방정식에 대해 고차수, 완전 보존적인 불연속 갈레르킨 방법을 제안하며, 밀도, 압력, 성분 농도의 양성과 엔트로피의 경계를 보장함으로써 비선형 불안정성을 억제한다. 이 방법은 선형 스케일링 리미터와 대각형 노름 합성부분적분 연산자를 이용한 엔트로피 안정성 시간 적분을 조합하여 1차원 시험 케이스(폭발파, 충격파 튜브 포함)에서 최적 수렴성과 강건성을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme for simulating the chemically reacting, compressible Euler equations with complex thermodynamics. The proposed formulation is an extension of the conservative, high-order numerical method previously developed by Johnson and Kercher [J. Comput. Phys., 423 (2020), 109826] that maintains pressure equilibrium between adjacent elements. In this first part of our two-part paper, we focus on the one-dimensional case. Our methodology is rooted in the minimum entropy principle satisfied by entropy solutions to the multicomponent, compressible Euler equations, which was proved by Gouasmi et al. [ESAIM: Math. Model. Numer. Anal., 54 (2020), 373--389] for nonreacting flows. We first show that the minimum entropy principle holds in the reacting case as well. Next, we introduce the ingredients required for the solution to have nonnegative species concentrations, positive density, positive pressure, and bounded entropy. We also discuss how to retain the aforementioned ability to preserve pressure equilibrium between elements. Operator splitting is employed to handle stiff chemical reactions. To guarantee satisfaction of the minimum entropy principle in the reaction step, we develop an entropy-stable discontinuous Galerkin method based on diagonal-norm summation-by-parts operators for solving ordinary differential equations. The developed formulation is used to compute canonical one-dimensional test cases, namely thermal-bubble advection, multicomponent shock-tube flow, and a moving hydrogen-oxygen detonation wave with detailed chemistry. We find that the enforcement of an entropy bound can considerably reduce the large-scale nonlinear instabilities that emerge when only the positivity property is enforced, to an even greater extent than in the monocomponent, calorically perfect case.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 열역학을 포함한 다성분, 반응성 압축성 유동의 고차수 시뮬레이션에서 비선형 불안정성을 해결한다.
• 보존적 방법에서 흔히 발생하는 가짜 압력 진동과 음성 성분 농도를 극복한다.
• 질량, 총 에너지, 원자 원소 보존을 유지하면서 물리적 경계를 강제하는 프레임워크를 개발한다.
• 강한 반응성 유동의 안정성을 확보하기 위해 이산적으로 최소 엔트로피 원리를 만족시킨다.
• 이전의 보존적 DG 방법을 확장하여 안정적인 고차수 폭발 및 충격파 시뮬레이션을 위한 양성 및 엔트로피 경계 강제 기능을 포함한다.

제안 방법

• 비반응성 유동에서의 이전 결과를 확장하여 다성분, 화학 반응성 오일러 방정식에 대해 최소 엔트로피 원리를 증명한다.
• 선형 스케일링 리미터를 구현하여 성분 농도의 음성 방지, 양성 밀도, 양성 압력, 그리고 경계된 엔트로피를 보장한다.
• Johnson과 Kercher(2020)의 일관된 화살표 형식을 활용하여 요소 간 압력 평형을 유지한다.
• 스트랑 분할을 사용하여 대류와 강한 화학 소스 항을 분리하여 효율적인 시간 적분을 가능하게 한다.
• 대각형 노름 합성부분적분 연산자와 엔트로피 보존적인 두점 수치 화살표를 사용하여 ODE에 대한 엔트로피 안정성 DG 방법을 개발한다.
• 선형 리미터로 완전히 억제되지 않는 소규모 진동을 감쇠하기 위해 인위적 점성을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 엔트로피 원리는 다성분, 화학 반응성 압축성 오일러 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 선형 스케일링 리미터는 다성분 반응성 유동에서 단성분 케이스와 비교해 복잡한 열역학적 특성을 가진 시스템에서 양성과 경계된 엔트로피 유지에 얼마나 효과적인가?
• RQ3 엔트로피 경계를 강제함으로써 고차수 시뮬레이션에서 복잡한 반응성 유동의 대규모 비선형 불안정성을 현저히 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 1차원 시험 케이스에서 보존성과 물리적 경계를 유지하면서 최적의 고차수 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 강한 엔트로피 기울기가 존재하는 영역에서 국소적 엔트로피 경계와 전역적 엔트로피 경계의 성능은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 화학 반응성 다성분 압축성 오일러 방정식에 대해 최소 엔트로피 원리가 성립함을 입증하여 이 원리를 이산 안정성 기준으로 사용할 수 있음을 정당화한다.
• 양성 보존 리미터는 충격파 튜브 및 열기포 흐름에서 해법 충돌을 방지하지만, 추가 안정화 없이선 대규모 진동이 지속됨을 확인한다.
• 엔트로피 리미터는 단성분, 등열적 완전 유동보다 더 효과적으로 불안정성을 감소시키며, 열역학적으로 완전한 다성분 시스템에서 상대적으로 더 큰 이점을 제공함을 보여준다.
• 폭발파와 같이 공간적 엔트로피 변화가 뚜렷한 영역에서는 국소 엔트로피 경계가 전역 경계보다 우수한 성능을 보였다.
• 열기포 이송 시험 케이스에서 보여지듯이, 매끄러운 흐름에서는 최적의 고차수 수렴성이 달성됨을 확인하였다.
• 모든 시험 케이스에서 질량, 총 에너지, 원자 원소의 이산 보존이 확인되었으며, 세부 화학 반응을 포함한 수소-산소 폭발 시험에서도 마찬가지였다.