[논문 리뷰] Potential of quantum finite automata with exact acceptance

Jozef Gruska, Daowen Qiu외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 35인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 정확한 양자 유한 오토마타(QFA)가 특정 프ом프스 문제를 상수 상태 복잡도로 해결할 수 있음을 보여주며, 이는 오직 세 개의 양자 기저 상태만을 사용함에도 불구하고, 고전적 결정론적 유한 오토마타(DFA)가 문제 매개변수에 비례해 선형적으로 증가하는 상태 수가 필요로 함을 시사한다. 주요 결과는 높은 대칭성이나 구조적 특성이 없는 프로브스 문제에 대해서조차도 정확한 양자 계산에서 상태 수의 지수적 단순화가 가능하다는 것을 보여주며, 이러한 이점이 특수한 문제 구조가 필요하다는 믿음을 도전한다.

ABSTRACT

The potential of the exact quantum information processing is an interesting, important and intriguing issue. For examples, it has been believed that quantum tools can provide significant, that is larger than polynomial, advantages in the case of exact quantum computation only, or mainly, for problems with very special structures. We will show that this is not the case. In this paper the potential of quantum finite automata producing outcomes not only with a (high) probability, but with certainty (so called exactly) is explored in the context of their uses for solving promise problems and with respect to the size of automata. It is shown that for solving particular classes $\{A^n\}_{n=1}^{\infty}$ of promise problems, even those without some very special structure, that succinctness of the exact quantum finite automata under consideration, with respect to the number of (basis) states, can be very small (and constant) though it grows proportional to $n$ in the case deterministic finite automata (DFAs) of the same power are used. This is here demonstrated also for the case that the component languages of the promise problems solvable by DFAs are non-regular. The method used can be applied in finding more exact quantum finite automata or quantum algorithms for other promise problems.

연구 동기 및 목표

• 정확한 양자 유한 오토마타(QFA)가 높은 대칭성이나 구조적 특성이 없는 입력 매개변수를 가진 프로브스 문제에서 상당한 상태 단순화를 달성할 수 있는지 조사하기.
• 정확한 계산에서의 지수적 양자 가속이 매우 특수한 구조적 성질을 가진 문제에서만 가능하다는 일반적인 믿음을 도전하기.
• N과 l(0 < l < N)과 같이 서로 약간 관련된 매개변수를 가진 프로브스 문제의 경우에도 정확한 QFA가 고전적 DFA보다 지수적으로 더 단순한 상태 구조를 가질 수 있음을 보여주기.
• 이전에 N = 2^{k+1}, l = 2^k와 같은 구조적 매개변수를 가진 프로브스 문제에 대해 얻어진 결과를 임의의 고정된 양의 정수 N과 l로 일반화하기.
• 최소한의 양자 기저 상태를 가진 정확한 MOQFA를 설계하는 구축 가능한 방법을 제공하고, 동일한 프로브스 문제를 해결하기 위한 최소 DFA 크기를 결정하기.

제안 방법

• 논문은 고정된 N과 l(0 < l < N)에 대해 A^{N,l} = (A_{yes}^{N,l}, A_{no}^{N,l})로 정의된 단일기호 프로브스 문제를 도입하며, 여기서 A_{yes}^{N,l} = {a^{iN} | i ≥ 0}이고 A_{no}^{N,l} = {a^{iN+l} | i ≥ 0}이다.
• 정확한 수용을 보장하는 정확한 3개의 양자 기저 상태를 가진 측정-일회 일방형 양자 유한 오토마타(MOQFA)를 구성한다.
• 이 방법은 3차원 실수 힐버트 공간 내에서의 양자 간섭과 위상 조작을 활용하여 a^{iN} 형태의 입력과 a^{iN+l} 형태의 입력를 주기성과 오프셋 정보를 양자 진폭에 인코딩하여 구별한다.
• 고전적 비교를 위해 동일한 프로브스 문제를 해결하기 위해 필요한 최소 DFA 크기를 유도하며, 이는 N을 나누지만 l을 나누지 않는 최소 정수 d와 같다 함을 증명한다.
• 증명은 DFA의 순환 구조에 기반한 모순 추론을 사용한다: 더 작은 DFA를 가정하면 주기적인 상태 전이로 인해 입력가 올바르게 수용 또는 기각되지 않게 된다.
• 이 구성은 이진 프로브스 문제로 일반화되며, 이 방법이 다른 프로브스 문제로도 확장 가능함을 보여주어 정확한 양자 알고리즘에 대한 광범위한 적용 가능성을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 양자 유한 오토마타가 높은 대칭성이나 구조적 특성이 없는 입력 매개변수를 가진 프로브스 문제에서 지수적 상태 단순화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 정확한 양자 계산의 지수적 우월성은 N과 N/2와 같이 '예'와 '아니오' 입력 매개변수 간 특수한 구조적 관계를 가진 문제에 국한되는가?
• RQ3 3상태 MOQFA는 이전에 연구된 N = 2^{k+1}, l = 2^k의 경우를 초월해 더 넓은 단일기호 프로브스 문제의 클래스를 해결할 수 있는가?
• RQ4 동일한 프로브스 문제를 해결하기 위해 필요한 최소 고전적 상태 수는 얼마인가?
• RQ5 제안된 방법은 비정규 성분 언어를 가진 다른 프로브스 문제에 대해 정확한 양자 알고리즘을 설계하는 데 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 0 < l < N인 임의의 고정된 양의 정수 N과 l에 대해, 프로브스 문제 A^{N,l}는 정확한 측정-일회 일방형 양자 유한 오토마타(MOQFA)를 사용하여 오직 세 개의 양자 기저 상태로 정확히 해결할 수 있다.
• 동일한 프로브스 문제를 해결하는 최소 결정론적 유한 오토마타(DFA)는 N을 나누지만 l을 나누지 않는 최소 정수 d이므로 최소 d개의 상태를 필요로 한다.
• N이 소수일 경우, 최소 DFA는 정확히 N개의 상태를 필요로 하며, 이는 DFA 크기가 N에 대해 선형 증가함을 보여주며, 반면 양자 오토마타는 항상 세 개의 상태로 유지된다.
• 이전에 N = 2^{k+1}, l = 2^k에 대해 보인 결과를 일반화하여, N과 l가 0 < l < N인 임의의 고정된 정수일 때도 정확한 QFA의 지수적 상태 단순화가 유지됨을 증명한다.
• 3상태 MOQFA를 구성하는 데 사용된 방법은 일반화 가능하며, 다른 프로브스 문제, 이진 알파벳 케이스 포함하여 정확한 양자 유한 오토마타를 설계하는 데 적용할 수 있다.
• 결과는 '예'와 '아니오' 입력 집합이 높은 구조적 특성을 가지지 않은 문제에 대해서도 상태 복잡도에서의 지수적 양자 가속이 가능함을 시사하며, 이러한 이점이 특수한 문제 구조가 필요하다는 가설을 도전한다.