[논문 리뷰] Power law violation of the area law in quantum spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 정수 스핀-$s$ 체인에 대해 정확히 해를 가진, 이동 대칭성과 국소성을 만족하는 해밀토니안의 클래스를 소개한다. 이 모델은 면적 법칙을 거듭 제곱으로 위반하며, 반으로 나누어진 체인의 얽힘 엔트로피는 $\sqrt{n}$ 비례로 증가한다. 이 모델은 과잉 에너지가 없고, 유일한 기본 상태를 가지며, 에너지 갭이 $n^{-c}$ 비례로 감소하며, $c \geq 2$ 이다. 이는 상대론적 등각(field) 이론 기술이 불가능함을 의미하며, 물리적 시스템에서 얽힘 엔트로피가 면적 법칙을 초과할 수 있는 방법이 로그 보정 외에도 존재할 수 있음을 보여주는 반례이다.

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 물리적으로 타당하고, 국소적이며, 이동 대칭성을 만족하는 양자 스핀 체인 모델을 구성하여 면적 법칙을 로그 보정 외의 요소로 위반하는 것.
• 이러한 모델에서 얽힘 엔트로피가 $\sqrt{n}$ 비례로 증가할 수 있음을 보여주며, 임계 또는 무간극 시스템에서 예상되는 $\log n$ 보다 더 큰 비율의 거듭 제곱 위반을 나타내는 것.
• 이 모델이 과잉 에너지가 없고 유일한 기본 상태를 가지며, 에너지 갭이 $n^{-c}$ 비례로 감소하는 하한선을 엄밀히 증명하는 것.
• 기본 상태가 길이 $n$인 모든 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 중첩임을 보여주며, 이로 인해 얽힘과 에너지를 정확한 조합 기법으로 분석할 수 있도록 하는 것.
• 경계 효과를 제거하면서도 모델의 핵심 성질, 즉 엽힘과 갭 스케일링을 유지하는 외부 필드를 도입하는 것.

제안 방법

• Bravyi 등이 제시한 스핀-1 모델을 모든 정수 스핀-$s$ 체인으로 일반화하여, 올라가기, 내리기, 평탄한 단계를 포함한 색상이 있는 Motzkin 걷기 기반의 해밀토니안을 사용한다.
• 기본 상태를 길이 $n$인 모든 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 중첩으로 표현하며, 조합 기반 프레임워크를 활용해 얽힘과 에너지를 분석한다.
• 브라운 운동의 외출 이론 기법을 적용하여 슈미트 랭크와 얽힘 엔트로피의 渐近적 행동을 유도하며, 주로 $S \sim \sqrt{n}$ 으로 나타남을 보인다.
• 경계점 근사법과 적분 표현을 사용하여 외부 필드 연산자 $F$의 기대값을 계산하여, 에너지 보정이 $\epsilon/n \cdot \langle g_m|F|g_m\rangle$ 비례로 나타남을 도출한다.
• 변분 방법을 통해 에너지 갭의 하한선을 확립하여, $\Delta \geq \Omega(n^{-c})$ 를 증명하며, 경로 수 계산과 랜덤 워크의 극값 통계를 사용해 $c \geq 2$ 를 확보한다.
• 외부 필드 $F$ 를 도입하여, 임베디드 딜크 경로(균형 잡힌 올라가기/내리기 단계)에만 작용하도록 하여, 경계 항을 제거하면서도 모델의 물리적 성질과 엽힘, 갭 스케일링을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적이고, 이동 대칭성 있으며, 과잉 에너지가 없는 양자 스핀 체인 모델이 면적 법칙을 로그 보정 외의 요소로 위반할 수 있는가?
• RQ2 비제로 에너지 갭이 존재하는 물리적으로 타당한 국소적 양자 시스템에서 최대로 가능한 얽힘 엔트로피 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 면적 법칙의 거듭 제곱 위반을 가진 모델이 정확히 해를 가지며, 시스템 크기와 함께 다항식적으로 갭이 감소하는가?
• RQ4 기본 상태가 색상이 있는 Motzkin 걷기의 균일한 중첩인 모델에서 얽힘 엔트로피는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 경계 효과를 외부 필드를 통해 제거할 수 있는가, 이로 인해 엽힘 또는 갭의 구조가 변하지 않는가?

주요 결과

• 반으로 나누어진 체인의 얽힘 엔트로피는 주로 $\sqrt{n}$ 비례로 증가하며, 면적 법칙의 거듭 제곱 위반을 나타낸다.
• 이 모델의 에너지 갭은 $n^{-c}$ 비례로 감소하며, $c \geq 2$ 이다. 이는 상대론적 등각 장 이론 기술이 불가능함을 의미한다.
• 기본 상태의 슈미트 랭크는 $n$에 대해 지수적으로 증가하며, 이는 $\sqrt{n}$ 얽힘 스케일링과 일치한다.
• 기본 상태는 길이 $n$인 모든 $s$-색상 Motzkin 걷기의 균일한 중첩이며, 명확한 조합적 구조를 가진다.
• 외부 필드 구성은 경계 항을 제거하면서도 모델의 핵심 특성, 즉 엽힘과 갭 스케일링을 유지한다.
• 엽힘 엔트로피와 갭의 渐近적 분석은 경계점 근사법과 브라운 운동의 외출 이론을 포함한 고급 조합 기법에 의존하며, 이는 다른 해밀토니안 갭 문제에도 적용 가능할 수 있다.