[논문 리뷰] Practical Quantum Computing: solving the wave equation using a quantum approach

Adrien Suau, Gabriel Staffelbach외 1명|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2020. 03. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Costa 등(2019)의 파동방정식 해법에 기반하여, 1D 파동방정식을 해결하기 위한 직접적인 양자 알고리즘의 첫 실험적 구현을 제시한다. 이 구현은 게이트 수와 실행 시간에서 이론적 渐近적 스케일링 $\mathcalO(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$ 이 유지됨을 보여주지만, 현재의 이산화 크기에서는 조건부 상수 요소가 크기 때문에 심지어 이상화된 하드웨어에서도 고전적 해법보다 효율성이 떨어진다.

ABSTRACT

In the last years, several quantum algorithms that try to address the problem of partial differential equation solving have been devised. On one side, "direct" quantum algorithms that aim at encoding the solution of the PDE by executing one large quantum circuit. On the other side, variational algorithms that approximate the solution of the PDE by executing several small quantum circuits and making profit of classical optimisers. In this work we propose an experimental study of the costs (in terms of gate number and execution time on a idealised hardware created from realistic gate data) associated with one of the "direct" quantum algorithm: the wave equation solver devised in [PCS. Costa, S. Jordan, A. Ostrander, Phys. Rev. A 99, 012323, 2019]. We show that our implementation of the quantum wave equation solver agrees with the theoretical big-O complexity of the algorithm. We also explain in great details the implementation steps and discuss some possibilities of improvements. Finally, our implementation proves experimentally that some PDE can be solved on a quantum computer, even if the direct quantum algorithm chosen will require error-corrected quantum chips, which are not believed to be available in the short-term.

연구 동기 및 목표

• 1D 파동방정식을 양자 컴퓨터에서 해결하기 위한 직접적 양자 알고리즘의 구현 및 분석.
• 이dealized 하드웨어에서 파동방정식 해법의 실용적 자원 비용—게이트 수, 큐비트 수, 실행 시간—평가.
• 해법 성능에 핵심적인 영향을 미치는 맞춤형 하미르토니안 시뮬레이션 절차 개발 및 벤치마킹.
• 실제 하드웨어 제약 조건 하에서 고전적 유한차분 해법과의 비교를 통한 양자 해법의 성능 평가.
• 높은 상수 요소가 존재하더라도, 근래의 양자 알고리즘으로 편미분방정식을 해결할 수 있는 가능성 평가.

제안 방법

• 파동방정식은 $N_d$ 개의 점을 가진 1D 공간 격자에 이산화되며, 해는 진폭 인코딩을 통해 양자 상태에 인코딩된다.
• 알고리즘은 Costa 등(2019)의 파동방정식 해법에 기반한 직접적 양자 접근법을 사용하며, 이는 시간에 따른 시스템 진화를 위해 하미르토니안 시뮬레이션에 의존한다.
• 고유의 하미르토니안 시뮬레이션 절차는 $2k$ 차수의 제품 공식을 사용한 트로터-수즈키 분해를 통해 구현되며, 정밀도 $\epsilon$를 확보하기 위해 분석적이고 최소화된 오차 한계에 의해 결정된 수의 단계 $r$이 설정된다.
• 구현은 Qiskit 기반의 qat 라이브러리를 사용하여 양자 회로를 생성하며, 비클리프턴드 게이트(특히 $T$ 및 Toffoli)는 알려진 합성 방법을 사용하여 근사된다.
• $T$-카운트는 다양한 애드어 구현 방식(산술 vs. QFT 기반)에 대해 계산되며, 총 게이트 수와 실행 시간은 IBM Q 하드웨어 데이터를 기반으로 추정된다.
• 이론적 渐近적 복잡도는 $N_d$ 및 $\epsilon$에 따른 게이트 수와 실행 시간의 스케일링을 측정하여 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 파동방정식 해법의 실용적 구현이 게이트 수와 실행 시간에서 이론적 渐近적 스케일링 $\mathcalO(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$ 을 재현하는가?
• RQ2 빅-오 표기법에 숨겨진 상수 요소가 고전적 유한차분 해법 대비 양자 해법의 성능에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 다양한 하미르토니안 시뮬레이션 오차 한계(분석적, 최소화된, 교환자 기반)는 필요한 회로 반복 수 $r$에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양한 양자 애드어 구현 방식은 $T$-카운트와 해법의 총 자원 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 편미분방정식을 해결하기 위한 직접적 양자 알고리즘이 현재 이상화된 하드웨어에서 실행 가능하며, 고전적 방법과 경쟁 가능한가?

주요 결과

• 구현은 총 게이트 수가 이산화 점 수 $N_d$ 에 대해 이론적 渐近적 스케일링 $\mathcalO(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$ 을 따름을 확인한다.
• 이dealized IBM Q 하드웨어에서의 실행 시간은 이론적 게이트 수 스케일링과 동일한 渐近적 스케일링을 따르며, 하드웨어 모델의 타당성을 검증한다.
• $T$-카운트는 $R_n$ 및 $P_h$ 게이트에 의해 지배되며, $\epsilon = 10^{-15}$ 정밀도에서 각각 약 379개의 $T$ 게이트가 필요하다. 산술 애드어가 QFT 기반 애드어보다 더 효율적이다.
• 목표 오차 $\epsilon$ 를 충족시키기 위해 필요한 회로 반복 수 $r$ 은 $\epsilon^{-1/2k}$ 비례로 증가하며, 최소화된 한계는 분석적 한계보다 유의미하게 적은 반복 수를 요구한다.
• 유리한 渐近적 스케일링에도 불구하고, $T$-카운트와 게이트 수의 큰 상수 요소는 합리적인 $N_d$ 값에서는 고전적 유한차분 해법보다 양자 해법의 효율성을 떨어뜨린다.
• 본 연구는 양자 컴퓨터에서 전체 PDE 해법의 첫 실험적 분석을 제공하며, 맞춤형 하미르토니안 시뮬레이션 구현 및 세부 자원 추정을 포함한다.