[논문 리뷰] Pre-Lie algebras in positive characteristic

Ioannis Dokas|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 18.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 제한된 전-리 대수를 도입하며, 제한된 리 대수에 대한 재스퍼슨의 정리를 일반화한다. 모든 덴드리포름 대수는 소수 특성의 체 위에서 자연스럽게 제한된 전-리 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명하며, 로타-베이터 및 쿼اسي트리앙털 대수로 확장하고, 제한된 포괄 덴드리포름 대수에 대한 왼쪽 수반 함자를 구성하여 이러한 대수의 범주론적 프레임워크를 수립한다.

ABSTRACT

In prime characteristic we introduce the notion of restricted pre-Lie algebras. We prove in the pre-Lie context the analogue to Jacobson's theorem for restricted Lie algebras. In particular, we prove that any dendriform algebra over a field of positive characteristic is a restricted pre-Lie algebra. Thus we obtain that Rota-Baxter algebras and quasitriangular algebras are restricted pre-Lie algebras. Moreover, we prove that the free $Γ(\calligra{preLie})$-algebra is a restricted pre-Lie algebra, where $\calligra{preLie}$ denotes the pre-Lie operad. Finally, we define the notion of restricted enveloping dendriform algebra and we construct a left adjoint functor for the functor $(-)_{p-preLie}: Dend ightarrow p-preLie$.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 제한된 리 대수 이론을 전-리 맥락으로 확장하기 위해.
• 재스퍼슨의 제한된 리 대수의 일반화로서 제한된 전-리 대수를 정의하기 위해.
• 양의 특성에서 덴드리포름 대수, 로타-베이터 대수, 쿼اسي트리앙털 대수가 자연스럽게 제한된 전-리 대수임을 입증하기 위해.
• 덴드리포름 대수에서 제한된 전-리 대수로 가는 함수에 대한 왼쪽 수반 함수를 구성하기 위해.
• 제한된 포괄 덴드리포름 대수를 보편적 구성으로 정의하고 특성화하기 위해.

제안 방법

• 제한된 전-리 대수의 개념을 도입하여, 전-리 대수에 $p$-맵을 부여하고, 제한된 리 대수에서의 특정 공리와 유사한 조건을 만족시키는 것을 확인한다.
• 제한된 전-리 대수의 유도된 리 대수가 제한된 리 대수임을 증명하여 두 구조 간의 연결 고리를 확립한다.
• 특성 $p \neq 0$인 체 위의 모든 덴드리포름 대수가 덴드리포름 연산에 의해 유도된 전-리 괄호를 통해 자연스럽게 제한된 전-리 대수의 구조를 지닌다는 것을 보인다.
• 자유 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-대수를 구성하고, 이것이 제한된 전-리 대수임을 증명한다.
• 제한된 포괄 덴드리포름 대수 $U_p(P)$를 $P$ 위의 자유 덴드리포름 대수의 몫으로 정의하며, 전-리 괄호와 $p$-맵 조건을 포함하는 관계를 반영한다.
• 제한된 전-리 대수에서 덴드리포름 대수로 가는 함수 $U_p$에 대해 왼쪽 수반 함수를 수립하며, 보편 포괄 대수의 구성 방식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 리 대수의 개념이 양의 특성에서 전-리 맥락으로 자연스럽게 확장될 수 있는가?
• RQ2 소수 특성의 체 위의 모든 덴드리포름 대수는 자연스럽게 제한된 전-리 대수의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 양의 특성에서 로타-베이터 대수와 쿼اسي트리앙털 대수는 자연스럽게 제한된 전-리 대수인가?
• RQ4 자유 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-대수는 제한된 전-리 대수인가?
• RQ5 보편 제한된 포괄 덴드리포름 대수가 존재하는가, 그리고 그것은 덴드리포름 대수에서 제한된 전-리 대수로 가는 忘却 함수에 대해 왼쪽 수반인가?

주요 결과

• 특성 $p \neq 0$인 체 위의 모든 덴드리포름 대수는 제한된 전-리 대수이며, 이는 재스퍼슨의 정리를 전-리 맥락으로 일반화한다.
• 자유 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-대수는 제한된 전-리 대수이며, 이는 제한된 구조로의 옵레라드 프레임워크를 확장한다.
• 양의 특성의 체 위의 로타-베이터 대수는 제한된 전-리 대수이며, 쿼اسي트리앙털 $\epsilon$-바이알제브라 역시 마찬가지이다.
• 단순한 리 대수 $\mathfrak{sl}(2,k)$는 $\operatorname{char}(k) = 3$일 때에만 제한된 전-리 대수의 구조를 지닌다. 이는 기존의 전-리 대수에 대한 결과를 확장한다.
• 함수 $U_p: p\text{-preLie} \to \text{Dend}$ 는 각 제한된 전-리 대수에 대해 그 보편 제한된 포괄 덴드리포름 대수를 할당하며, 이는 忘却 함수 $(-)_{p\text{-preLie}}$ 에 대해 왼쪽 수반이다.
• 제한된 포괄 덴드리포름 대수 $U_p(P)$는 $P$ 위의 자유 덴드리포름 대수에서 전-리 괄호와 $p$-맵 조건을 포함하는 아이디얼을 몫으로 취하여 구성되며, 이는 보편성을 보장한다.