[논문 리뷰] Precise deviations for Hawkes processes

Fuqing Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 09.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 44인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 mod-ϕ 수렴 이론을 사용하여 선형 하크스 과정에 대한 정밀한 편차를 수립하고, 표준적인 대규모 및 중간 편차 원리 이상의 고차수 渐近 전개를 도출한다. 주요 기여는 높은 차수의 모멘트를 포함한 더 정밀한 지수적 추정을 제공하는, 尾확률 P(N_t ≥ xt)에 대한 개선된 라플라스 근사이다. 이는 이전의 도른스커-바라다한 유형 결과보다 더 날카로운 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes with self-exciting and clustering properties. Hawkes process has been widely applied in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study precise deviations for Hawkes processes for large time asymptotics, that strictly extends and improves the existing results in the literature. Numerical illustrations will also be provided.

연구 동기 및 목표

• 기존의 하크스 과정에 대한 대규모 및 중간 편차 결과를 고차수 보정을 포함한 정밀한 편차로 확장하기 위해.
• 기존의 도른스커-바라다한 유형의 속도 함수가 선형 항만을 포착한다는 한계를 해결하기 위해.
• 모멘트 생성 함수 분석을 통해 尾확률 P(N_t ≥ xt)에 대한 개선된 점근 근사 수식을 개발하기 위해.
• 핵심 h에 대한 적분 가능성 조건 하에서 선형 하크스 과정에 mod-ϕ 수렴 이론을 적용하기 위해.
• 높은 차수의 모멘트와 점근 전개를 포함한 계수 생성 함수의 명시적 공식을 제공하기 위해.

제안 방법

• 하크스 과정 N_t의 모멘트 생성 함수 분석을 위해 mod-ϕ 수렴 이론을 활용한다.
• 적분 방정식을 통해 F(t;θ) = E[exp(θN_t)]의 반명시적 공식을 유도한다.
• θ에 대한 F^{(k)}(t;θ)의 재귀 미분 방정식을 수립하여 고차수 도함수 계산을 가능하게 한다.
• Radon-Nikodym 도함수를 포함한 기울인 측도를 사용하여 P(N_t ≥ xt)를 표현하기 위해 측도 전환 기법을 적용한다.
• 누적 생성 함수의 레전드르 변환을 통해 최적의 기울임 파라미터 θ*를 특정한다.
• 4차까지의 고차수 모멘트를 포함한 사다리점 방법을 사용하여 尾확률의 점근 전개를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 하크스 과정에서 尾확률 P(N_t ≥ xt)에 대한 고차수 점근 전개는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 주어진 대편차 원리의 선형 항을 초월하여 P(N_t ≥ xt)의 정밀한 지수 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ3 mod-ϕ 수렴 이론은 하크스 과정처럼 스토하스틱 강도를 갖는 점과정에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 4차까지의 고차수 모멘트는 라플라스 근사의 정밀도를 높이는데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 핵심 h는 ∫th(t)dt < ∞일 때 정밀한 편차 행동을 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• 논문은 표준 대편차 속도 함수를 초월한 고차수 보정을 포함한 P(N_t ≥ xt)에 대한 정밀한 라플라스 근사를 도출한다.
• 尾확률의 점근 전개는 계수 과정의 4차 모멘트를 포함하며, ν, ‖h‖_{L^1}, 및 x에 대한 명시적 표현을 통해 x^{(3)}(θ*) 및 x^{(4)}(θ*)를 유도한다.
• 최적의 기울임 파라미터 θ*는 θ* = argmax_θ {θx − ν(x(θ) − 1)}를 만족하며, x(θ*) = x / (ν + ‖h‖_{L^1}x)이다.
• 전개의 두 번째 보정 항은 x^{(4)}(θ*) / (1 − ‖h‖_{L^1}x(θ*)) 비례하며, 계수로 (γ − 1)^2 및 H(t − u)를 포함한다.
• 이 결과는 Donsker-Varadhan 대편차 원리보다 개선되어 지수 감쇠 속도의 다음 계수 항을 포착한다.
• 수치적 예시는 특히 중간에서 대규모 편차 영역에서 정밀한 편차 근사의 정확성을 확인한다.