[논문 리뷰] Precise interpretation of the conformable fractional derivative

Ahmed A. Abdelhakim|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 07.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 칼릴 등이 정의한 conformable 분수도수 $ T_{\beta}f(x) $ 가 수학적으로 고전적 미분 가능성과 동치임을 입증한다: $ x > 0 $ 에서 $ T_{\beta}f(x) = x^{1-\beta}f'(x) $ 이다. 주요 기여는 conformable 의미에서의 $ \alpha $-미분 가능성과 표준적 미분 가능성 간의 동치성을 증명함으로써, 스케일링 인자와 함께 고전적 도수로 환원되는 분수미분학의 증명과 계산을 단순화하는 것이다.

ABSTRACT

Let $α\in\,]0,1[$. We prove that the existence of the conformable fractional derivative $T_αf$ of a function $f:[0,\infty[\,\longrightarrow \mathbb{R}$ introduced by Khalil et al. in [R. Khalil, M. Al Horani, A. Yousef, M. Sababheh, A new definition of fractional derivative, J. Comput. Appl. Math. 264 (2014) 65-70] is equivalent to classical differentiability. Precisely the fractional $α$-derivative of $f$ is the pointwise product $T_αf(x)=x^{1-α}f^{\prime}(x)$, $x>0$. This simplifies the recent results concerning conformable fractional calculus.

연구 동기 및 목표

• 칼릴 등에 의해 도입된 conformable 분수도수의 해석에 대한 모호함을 해결하기 위해
• $ \alpha $-미분 가능성은 고전적 미분 가능성임을 의미하는지, 아니면 엄연히 새로운 개념인지 명확히 하기 위해
• 고전적 도수를 바탕으로 conformable 도수를 정확하고 명시적으로 기술하기 위해
• 스케일링 인자를 통해 고전적 미분학으로 환원되는 방식으로 기존 conformable 분수미분학 결과들을 단순화하기 위해

제안 방법

• 한정 정의에서 변수 변경을 사용하여 $ T_{\alpha}f(x) $ 가 존재하면 $ x > 0 $ 에서 $ f $ 가 미분 가능하다는 것을 증명함.
• 한정 정의로부터 명시적 관계 $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ 를 유도하여 고전적 도수와의 동치성을 보임.
• $ x = 0 $ 에서의 행동을 분석하여 $ T_{\alpha}f(0) = \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $ 라고 하며, $ f' $ 가 0 근처에서 유계이면 이 극한은 0임을 보임.
• conformable 도수 $ T_{\alpha} $ 와 다른 정의 $ U_{\alpha} $ 를 비교하여, 둘 다 고전적 미분 가능성과 동치임을 증명함.
• $ \log(1 + \epsilon/x)^{1/\epsilon} \to 1/x $ 의 渐近 분석을 사용하여 $ U_{\alpha} $ 정의가 고전적 도수와 어떻게 연결되는지 분석함.
• 일반 원칙을 수립함: $ \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) \neq 0 $ 이면, $ \phi $ 가 $ x_0 $ 에서 미분 가능할 조건은 일반화된 극한 $ \tilde{\phi}(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(x_0 + \epsilon h(\epsilon,x_0)) - \phi(x_0)}{\epsilon} $ 이 존재하고, 이 값이 $ \psi(x_0)\phi'(x_0) $ 와 같아야 함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 conformable 분수도수 $ T_{\alpha}f(x) $ 는 진정으로 새로운 개념인가, 아니면 고전적 미분 가능성과 동치인가?
• RQ2 $ T_{\alpha}f(x) $ 가 존재하면 고전적 도수 $ f'(x) $ 가 존재하는가?
• RQ3 conformable 도수를 고전적 도수로 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 $ T_{\alpha}f(0) $ 의 정확한 해석은 무엇이며, 이는 0 근처에서 $ f' $ 의 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 예를 들어 $ U_{\alpha}f(x) $ 와 같은 conformable 도수의 다른 정의도 고전적 미분 가능성과 동치인가?

주요 결과

• 모든 $ x > 0 $ 에서 conformable 분수도수 $ T_{\alpha}f(x) $ 가 존재하는 것은 $ f $ 가 $ x $ 에서 미분 가능할 조건이며, 이 경우 $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ 이다.
• [10] 에서 제시된 $ \alpha $-미분 가능 함수가 반드시 고전적 미분 가능이 아니라는 주장은 틀리다. $ g(x) = \sqrt{x} $ 와 같은 반례는 $ x > 0 $ 에서의 동치성에 영향을 주지 않는다.
• $ x = 0 $ 에서 $ T_{\alpha}f(0) $ 가 존재하는 것은 $ \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $ 가 존재할 조건이며, 이 극한은 $ f' $ 가 0 근처에서 유계이면 0이 된다.
• $ \tilde{g}(x) = x^2\chi_{\mathbb{Q}}(x) $ 는 오직 0 에서만 미분 가능하므로, $ T_{\alpha}\tilde{g}(0) $ 는 존재하지 않으며, 이는 미분 가능성과 $ \alpha $-미분 가능성 간의 독립성을 확인한다.
• 다른 conformable 도수 $ U_{\alpha}f(x) $ 도 고전적 미분 가능성과 동치이며, $ U_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ 라고 표현할 수 있다.
• 일반 원칙이 수립되었으며, 함수는 $ x_0 $ 에서 미분 가능할 조건은 함수 $ h(\epsilon, x_0) $ 를 포함하는 일반화된 극한이 존재하고, 그 값이 $ \psi(x_0)f'(x_0) $ 와 같아야 한다는 조건을 만족할 때 성립한다. 여기서 $ \psi(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) $ 이다.