[논문 리뷰] Preparing Arbitrary Continuous Functions in Quantum Registers With Logarithmic Complexity

Arthur G. Rattew, Bálint Koczor|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 목표 해상도에 대해 로그 시간 복잡도를 갖는 연속 함수를 양자 레지스터에 준비하기 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 시간 진동을 통한 랭크-1 프로젝터의 효율적 시뮬레이션을 활용하여, 질의 복잡도는 일정하고 오차는 함수의 충진 비율에 반비례하게 제어되며, 이는 양자 화학 및 금융 분야에서의 효율적 상태 준비, 수치 적분 및 샘플링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum computers will be able solve important problems with significant polynomial and exponential speedups over their classical counterparts, for instance in option pricing in finance, and in real-space molecular chemistry simulations. However, key applications can only achieve their potential speedup if their inputs are prepared efficiently. We effectively solve the important problem of efficiently preparing quantum states following arbitrary continuous (as well as more general) functions with complexity logarithmic in the desired resolution, and with rigorous error bounds. This is enabled by the development of a fundamental subroutine based off of the simulation of rank-1 projectors. Combined with diverse techniques from quantum information processing, this subroutine enables us to present a broad set of tools for solving practical tasks, such as state preparation, numerical integration of Lipschitz continuous functions, and superior sampling from probability density functions. As a result, our work has significant implications in a wide range of applications, for instance in financial forecasting, and in quantum simulation.

연구 동기 및 목표

• 양자 스피드업을 달성하는 데 있어 핵심적인 장벽인 임의의 연속 함수에 대응하는 양자 상태를 효율적으로 준비하는 데 도전한다.
• 해상도에 대해 로그 복잡도를 갖는 방법을 개발하여 실용적 응용을 위한 확장 가능한 양자 알고리즘을 가능하게 한다.
• 함수의 충진 비율에 따라 스케일링되는 엄밀한 오차 한계를 제공하며, 리프시츠 연속 함수의 경우 점점 줄어드는 수렴을 보인다.
• 양자 화학, 옵션 가격 설정 및 수치 적분 분야에서 효율적 인 상태 준비 및 시뮬레이션 서브루틴을 통해 실용적인 양자 알고리즘을 가능하게 한다.
• 일반적인 연속 진폭 함수를 위한 랭크-1 하미르토니안 시뮬레이션 서브루틴을 도입함으로써 양자 정보 기법을 확장한다.

제안 방법

• 핵심 방법은 이산화된 함수의 랭크-1 행렬 표현을 사용하며, $ A_{kl} = f(x_k)f^*(x_l) $ 로 정의되어 목표 진폭 함수를 양자 하미르토니안에 인코딩한다.
• 낮은 랭크 및 1-희소 시뮬레이션 기법을 사용하여 이 랭크-1 하미르토니안의 효율적 시간 진동 시뮬레이션을 활용함으로써 일정 질의 복잡도를 구현한다.
• 시뮬레이션된 하미르토니안 $ \mathcal{H} \propto |\psi\rangle\langle\psi| $ 의 기본 상태는 목표 양자 상태 $ |\psi\rangle $ 로 준비되며, 이는 함수 진폭에 대응한다.
• 행렬 요소를 효율적으로 계산하기 위해 양자 오라클을 사용하며, 리만 합 근사법을 통해 이산 합과 연속 노름 사이의 관계를 설정한다.
• 적분 작업을 위해 조각별 적분 $ g(x_k) = \sqrt{f(x_k)\Delta_N} $ 를 사용하여 수정된 랭크-1 행렬을 구성함으로써 $ \ell^1 $-노름 인코딩을 가능하게 한다.
• 오차 한계는 행렬 노름 비율을 사용하여 유도되며, 리프시츠 연속 함수의 경우 점점 수렴하는 $ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해상도에 대해 로그 복잡도를 갖는 조건에서, 임의의 연속 함수를 양자 레지스터에 준비할 수 있는가?
• RQ2 알고리즘의 오차와 비용은 함수의 충진 비율과 매끄러움에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ3 랭크-1 하미르토니안 시뮬레이션을 어떻게 활용하여 일반적인 진폭 함수를 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 양자 알고리즘에서 확률 밀도 함수로부터의 효율적 수치 적분 및 샘플링을 가능하게 하는가?
• RQ5 연속 함수의 이산 양자 레지스터에서의 근사화에 대한 이론적 오차 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 질의 복잡도는 큐비트 수에 독립적으로 일정하며, $ N \to \infty $ 일 때 오차는 점점 소멸한다.
• 진폭 인코딩의 경우 오차 한계는 $ \mathcal{F}^{-2} + \epsilon $ 로 스케일링되며, $ \mathcal{F} $ 는 충진 비율이고, 리프시츠 함수의 경우 $ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $ 이다.
• 적분 인코딩의 경우 오차 비율은 $ (b-a)\mathcal{F}^{-1} + \epsilon $ 으로 유계이며, 동일한 점점 수렴하는 오차 행동을 보인다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 오차 스케일링을 확인하였으며, 리프시츠 연속 함수의 경우 $ \mathcal{O}(N^{-1}) $ 와 일치하는 수렴을 보였다.
• 이 방법은 복잡도가 해상도에 대해 로그 복잡도이며 큐비트 수에 독립적인 점근적 영역에서 임의의 연속 함수에 대해 효율적 인 양자 상태 준비를 가능하게 한다.
• 이 접근법은 양자 몬테카를로 적분, 확률 밀도 함수로부터의 샘플링, 연속 시스템의 양자 시뮬레이션과 같은 실용적 응용을 지원한다.