[논문 리뷰] Prescribed mass ground states for a doubly nonlinear Schr\"odinger equation in dimension one

Filippo Boni, Simone Dovetta|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 18.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 54인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 실수축 위의 1차원 이중 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 표준 거듭제곱 비선형성과 원점에 국소화된 점비선형성을 동시에 포함할 때, 다양한 임계성 영역에서 지상 상태의 존재성과 유일성을 확립한다. 비선형성이 모두 초임계일 경우 모든 질량에서 지상 상태가 존재하고 유일하며, 한 비선형성이 임계이고 다른 한 비선형성이 초임계일 경우 한계 질량에서만 존재하고, 이중 임계인 경우에만 특정 임계 질량에서만 존재한다. 이때 이중 임계의 임계 질량은 개별 비선형성의 임계 질량보다 작으며, 비선형 상호작용으로 인해 감소한다.

ABSTRACT

We investigate the problem of existence and uniqueness of ground states at fixed mass for two families of focusing nonlinear Schr\"odinger equations on the line. The first family consists of NLS with power nonlinearities concentrated at a point. For such model, we prove existence and uniqueness of ground states at every mass when the nonlinearity power is $L^2-$subcritical and at a threshold value of the mass in the $L^2-$critical regime. The second family is obtained by adding a standard power nonlinearity to the previous setting. In this case, we prove existence and uniqueness at every mass in the doubly subcritical case, namely when both the powers related to the pointwise and the standard nonlinearity are subcritical. If only one power is critical, then existence and uniqueness hold only at masses lower than the critical mass associated to the critical nonlinearity. Finally, in the doubly critical case ground states exist only at critical mass, whose value results from a non--trivial interplay between the two nonlinearities.

연구 동기 및 목표

• 실수축 위의 이중 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 표준 거듭제곱 비선형성과 원점에 국소화된 점비선형성을 포함할 때, 고정된 질량에서 지상 상태의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 이중 초임계, 단일 임계(한 비선형성이 임계, 다른 비선형성이 초임계), 이중 임계(양비선형성이 모두 임계)의 다양한 임계성 영역에서 에너지 함수의 거동을 분석하기 위해.
• 특히 임계 영역에서 지상 상태가 존재하는 정확한 한계 질량 값을 결정하고, 두 비선형성 간의 상호작용이 임계 질량에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 이중 임계인 경우(p=6, q=4)에 지상 상태가 오직 유일한 임계 질량 µ∗에서만 존재함을 증명하고, 이때 µ∗가 개별 비선형성의 임계 질량보다 엄밀히 작음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 에너지 함수 Fp,q(u) = 1/2∥u′∥²₂ − 1/p∥u∥ᵖₚ − 1/q|u(0)|^q 를 H¹(R) 위에서 질량 제약 조건 ∥u∥²₂ = µ 하에 분석한다.
• 유계성 및 최소화자 존재성을 확보하기 위해 변분 방법, 특히 강제성 논증과 가가르도-니레베르그 부등식을 활용한다.
• 이중 임계인 경우(p=6, q=4)에 스케일 불변성(F6,4(uλ) = λ²F6,4(u))과 에너지 함수의 상부 하우스도르프 연속성으로 임계 질량 µ∗를 특성화한다.
• 모순과 약한 수렴 논증을 통해 µ∗에서 지상 상태의 존재성을 증명하며, µ∗에서 최소화 수열의 임의의 약한 극한이 비자명하고 최소값을 도달함을 보여준다.
• 원점에서 비선형 점프 조건 u′(0⁻) − u′(0⁺) = |u(0)|^{q−2}u(0) 를 만족하는 두 솔리톤 조각을 붙임으로써 해를 구성한다.
• 해의 명시적 형태 φ(x) = [p/(2ω)(1 − tanh²(...))]^{1/(p−2)} 를 이용해 매칭 조건의 적분을 통해 임계 질량 µ∗를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성의 조건(p, q)이 어떤 경우에 고정된 질량 µ > 0 에서 지상 상태가 존재하는가?
• RQ2 비선형성이 하나 또는 둘 다 L²-임계 거듭제곱일 경우 지상 상태의 존재성과 유일성은 어떻게 변하는가?
• RQ3 표준 거듭제곱 비선형성과 원점에 국소화된 점비선형성 간의 상호작용은 임계 질량 한계에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 이중 임계인 경우(p=6, q=4)에 임계 질량 µ∗는 각각의 비선형성의 임계 질량보다 같거나, 더 크거나, 더 작은가?

주요 결과

• 2 < p < 6 이고 2 < q < 4 (이중 초임계 영역)일 경우, 모든 µ > 0 에서 지상 상태가 존재하고 유일하다.
• p = 6 (L²-임계) 이고 2 < q < 4 (초임계)일 경우, 지상 상태는 오직 µ < √3 π / 2 에서만 존재하며, 이때 에너지 F6,q(µ) = −∞ 이다.
• 2 < p < 6 (초임계) 이고 q = 4 (L²-임계)일 경우, 지상 상태는 오직 µ < 2 에서만 존재하며, 이때 에너지 Fp,4(µ) = −∞ 이다.
• 이중 임계인 경우(p=6, q=4)에 지상 상태는 오직 유일한 임계 질량 µ∗ = √3 (π/2 − arcsin(√(3/7))) 에서만 존재하며, F6,4(µ) = 0 (µ ≤ µ∗), F6,4(µ) = −∞ (µ > µ∗) 이다.
• 임계 질량 µ∗는 각각의 개별 임계 질량 √3 π / 2 와 2 보다 엄밀히 작으며, 이는 두 비선형성 간의 비트리비얼한 상호작용이 임계 질량 한계를 낮춘다는 것을 보여준다.
• 이중 임계인 경우의 정적 방정식의 모든 해는 동일한 질량 µ∗를 가지며, F6,4(ϕω) = 0 이다. 이는 모든 ω > 0 에 대해 {ϕω}ω>0 가 µ∗에서 지상 상태임을 확인한다.