[논문 리뷰] Primitive Divisors, Dynamical Zsigmondy Sets, and Vojta's Conjecture

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 산술적 동역학의 맥락에서 원시 약수와 측정자 집합을 조사하며, 잘리지 않은 세기 함수를 가진 보자 추측을 사용하여, 원시 약수를 가지지 않는 궤도의 점들의 집합이 배경 다양체에서 자리지 조밀하지 않음을 보여준다. 특정 기하학적 및 산술적 조건—예를 들어, 사상과 약수의 차수 제약 조건, 약화와 정상 교차 조건—하에 Zsigmondy 집합이 유한하거나 적절한 부분다양체에 포함됨을 보였다.

ABSTRACT

A primitive prime divisor of an element a_n of a sequence (a_1,a_2,a_3,...) is a prime P that divides a_n, but does not divide a_m for all m < n. The Zsigmondy set Z of the sequence is the set of n such that a_n has no primitive prime divisors. Let f : X --> X be a self-morphism of a variety, let D be an effective divisor on X, and let P be a point of X, all defined over the algebraic closure of Q. We consider the Zsigmondy set Z(X,f,P,D) of the sequence defined by the arithmetic intersection of the f-orbit of P with D. Under various assumptions on X, f, D, and P, we use Vojta's conjecture with truncated counting function to prove that the set of points f^n(P) with n in Z(X,f,P,D) is not Zariski dense in X.

연구 동기 및 목표

• 대수다양체 위의 동역학적 시스템에서 유래된 수열에서 원시 약수의 분포를 이해하는 것.
• 산술적 동역학의 맥락에서 원시 소수 약수의 존재하지 않는 인덱스인 Zsigmondy 집합의 구조를 조사하는 것.
• 산술기하학의 깊은 추측을 사용하여 원시 약수를 가지지 않는 궤도 점들의 집합의 유한성 또는 비자리지 조밀성을 확립하는 것.
• 보자 추측을 활용하여 고차원 동역학계로 고전적인 Zsigmondy 유형 결과를 확장하는 것.
• 대수다양체에서 보완적 코드임을 가진 사이클의 원시 약수 행동을 탐색하는 것.

제안 방법

• 궤도의 점들의 산술적 복잡도를 제어하기 위해 잘리지 않은 세기 함수를 가진 보자 추측을 기본 가정으로 사용한다.
• Zsigmondy 집합 ${\mathcal{Z}}(X,f,P,D)$를 정의한다. 이는 $f^n(P)$ 가 약수 $D$에 대해 원시 소수 약수를 가지지 않는 인덱스 $n$ 의 집합이다.
• 기하 기법을 적용한다: 궤도 점들의 소수 $\mathfrak{p}$ 모듈로 환원과 그들의 감소된 약수 $\widetilde{D}$ 와의 교차를 고려한다.
• 사상 $f$, 약수 $D$, 다양체 $X$ 에 대해 조건을 부과한다. 예를 들어, 차수 $d \geq 3$, 정상 교차, 약화 조건 등을 통해 교차 이상의 성장이 보장되도록 한다.
• 보자 추측의 추측적 부등식을 사용하여, $n \in {\mathcal{Z}}$ 인 점들 $f^n(P)$ 의 집합이 자리지 조밀하지 않음을 보이는 문제로 환원한다.
• 보완적 코드임을 가진 부분다양체 시퀀스 $\xi_n$ 과 $\eta_n$ 에 대해 프레임워크를 일반화하며, 모od-$\mathfrak{p}$ 교차를 통한 새로운 원시 약수의 개념을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에 동역학적 궤도의 Zsigmondy 집합이 자리지 조밀하지 않은가?
• RQ2 잘리지 않은 세기 함수를 가진 보자 추측이 고차원 동역학계에서 Zsigmondy 집합의 유한성 또는 흐리게 흩어진 상태를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 고정된 약수와의 교차를 통해 정의된 수열에서 원시 약수는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 보완적 코드임을 가진 고정된 부분다양체와 함께 동역학적으로 변화하는 부분다양체의 교차를 고려할 때 Zsigmondy 집합은 유한한가?
• RQ5 사상의 차수와 약수의 역할은 원시 약수의 존재를 통제하는 데 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 잘리지 않은 세기 함수를 가진 보자 추측 하에, 집합 $\{f^n(P) : n \in {\mathcal{Z}}(X,f,P,D)\}$ 는 $X$ 에서 자리지 조밀하지 않다.
• $f: \mathbb{P}^N \to \mathbb{P}^N$ 이 차수 $d \geq 3$ 이고, $F$ 가 차수 $\deg(F) > (N+1)(1 + 1/(d-2))$ 인 동차 다항식일 경우, $F(f^n(P))$ 의 Zsigmondy 집합은 해당 궤도 점들이 자리지 조밀하지 않음을 뜻한다.
• Zsigmondy 집합 $\mathcal{Z}(\mathcal{O}_f(P), D)$ 는 유한한 점들을 제외한, 적절한 닫힌 부분다양체 $Y \subsetneq X_K$ 에 포함된다.
• 이 결과는 $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_K) = 1$, $\widehat{h}_{f,H}(P) > 0$, 및 $\deg(D_K) > \frac{d-1}{d-2} \cdot \deg(-\kappa_X)$ 라는 가정 하에 성립한다.
• 부분다양체 시퀀스 $\xi_n = f^n(\xi)$ 와 보완적 코드임을 가진 고정된 $\eta$ 에 대해, Zsigmondy 집합 $\mathcal{Z}(\mathcal{X}, \mathcal{N})$ 은 적절한 동역학적 비퇴화 조건 하에 유한하다는 것이 추측된다.
• 이 방법은 동역학계에서 높이의 지수적 성장을 기반으로 하며, 이는 그 차수의 항이 이전 항들을 지배할 수 있도록 해주며, 군 기반 수열과 달리 다항식적 성장만을 가지는 것과는 다르다.