[논문 리뷰] Probing holography in $p$-adic CFT

Stephen Ebert, Hao-Yu Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 14.

advanced mathematical theories참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브하트-티스 트리와 p-진 BTZ 블랙홀을 배경으로 하는 p-진 CFT의 분할 함수와 1-루프 위튼 다이어그램을 홀로그래픽적으로 계산하며, 라플라스 연산자의 새로운 스펙트럼 분해를 도입하고 역 라플라스 변환을 통해 상태 밀도를 유도한다. 또한 p-진 CFT 힐베르트 공간의 글로벌 초월 대칭군 표현을 분석하고, 무거운-무거운-가벼운 3점 함수 계수에 대한 제약 조건을 도출한다.

ABSTRACT

We holographically calculate the partition functions of certain types of isotropic sectors of the CFTs dual to Bruhat-Tits trees and $p$-adic BTZ black holes. Along the way, we propose new spectral decompositions of the Laplacian operator other than the plane-wave basis on these two types of background, with both analytical and numerical evidence. We extract the density of states and hence entropy from the BTZ partition function via the inverse Laplace transform. Then the one-loop Witten diagram is computed in the $p$-adic BTZ black hole background, yielding constraints on the heavy-heavy-light averaged three-point coefficient of its boundary $p$-adic CFT. Finally, for general $p$-adic CFTs (not necessarily holographic), we analyze the representation theory of their global conformal group $PGL\left(2,\mathbb{Q}_p ight)$, and discuss the suitability of different representations as Hilbert spaces of $p$-adic CFT.

연구 동기 및 목표

• 브하트-티스 트리와 p-진 BTZ 블랙홀을 배경으로 하여 p-진 CFT에 대한 홀로그래픽 프레임워크를 수립하기 위해.
• 이 배경과 이중인 p-진 CFT의 등방성 영역의 분할 함수를 계산하여 엔트로피와 같은 열역학적 양을 추출하기 위해.
• p-진 BTZ 배경에서 1-루프 위튼 다이어그램 계산을 통해 중량-중량-경량 3점 함수 계수에 대한 제약 조건을 도출하기 위해.
• p-진 CFT 힐베르트 공간을 정의하기 위해 적합한 $PGL(2,\mathbb{Q}_p)$의 표현 이론을 분석하고 평가하기 위해.

제안 방법

• 브하트-티스 트리와 p-진 BTZ 블랙홀을 배경으로 하는 p-진 CFT의 등방성 영역의 분할 함수를 홀로그래픽적으로 계산하기 위해.
• 이 배경에서 라플라스 연산자의 새로운 스펙트럼 분해를 제안하며, 분석적 및 수치적 증거를 함께 사용하기 위해.
• 역 라플라스 변환을 통해 BTZ 분할 함수로부터 상태 밀도와 엔트로피를 추출하기 위해.
• p-진 BTZ 블랙홀 배경에서 1-루프 위튼 다이어그램을 계산하여 평균 3점 함수 계수에 대한 제약 조건을 도출하기 위해.
• $PGL(2,\mathbb{Q}_p)$의 표현 이론을 분석하여 p-진 CFT에 적합한 단위 표현을 식별하고, 이를 p-진 CFT의 후보 힐베르트 공간으로 삼기 위해.
• 특히 깊이-0 경우를 위해 $GL(2,\mathbb{Q}_p)$의 슈퍼스피실 표현을 컴팩트 유도를 통해 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브하트-티스 트리와 p-진 BTZ 블랙홀 배경에서 p-진 CFT의 등방성 영역 분할 함수는 어떻게 홀로그래픽적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 p-진 대칭 공간에서의 라플라스 연산자 스펙트럼 분해는 보다 깊은 통찰을 제공하는가?
• RQ3 BTZ 분할 함수의 역 라플라스 변환은 p-진 설정에서 상태 밀도와 엔트로피를 어떻게 도출하는가?
• RQ4 p-진 BTZ 배경에서 1-루프 위튼 다이어그램은 중량-중량-경량 3점 함수 계수에 어떤 제약 조건을 둔다?
• RQ5 p-진 CFT에 적합한 $PGL(2,\mathbb{Q}_p)$의 단위 표현은 무엇이며, 슈퍼스피실 표현과의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• p-진 BTZ 블랙홀의 분할 함수는 Bekenstein-Hawking 면적 법칙을 만족하여 홀로그래픽 엔트로피 스케일링을 확인한다.
• 분할 함수의 역 라플라스 변환을 통해 상태 밀도가 추출되었으며, 이는 3차원 중력과 일치하는 스펙트럼을 보인다.
• 비회전 p-진 BTZ 블랙홀의 경우, 큰 $r_+$에서 분할 함수는 $e^{4k\pi r_{+}}$로 점 渐진하며, 고전적 엔트로피와 일치한다.
• 작은 $r_+$에서 분할 함수는 $r_+ e^{(4k - 1/6)\pi r_+}$로 행동하며, 이는 디데킨트 에타 함수의 점근 전개로부터 유도된다.
• p-진 BTZ 배경에서의 1-루프 위튼 다이어그램 계산은 무거운 연산자의 평균 3점 함수 계수에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 논문은 $SL(2,\mathbb{Q}_p)$에 대해 $p(p-1)/2$개의 서로 다른 슈퍼스피실 표현을 식별하였으며, $p=2$일 경우 유일한 표현이 존재하며, 이는 $S_3$에서의 컴팩트 유도를 통해 구성된다.