[논문 리뷰] Produits dans la cohomologie des variétés arithmétiques : quelques calculs sur les séries thêta

Nicolas Bergeron|ArXiv.org|2006. 12. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오р토고널 및 유니터리 군과 관련된 산술 다각형에서 유래한 테타 급수의 코homology 클래스의 cup 곱을 연구한다. 일반화된 테타 이전 구조와 히케-등변 코homological 기법을 사용하여, 이러한 테타 클래스와 그 복소수 켤레의 임의의 cup 곱이 가상으로 영이 아니라는 것을 증명하며, 이는 이러한 군들에 대한 코homological Langlands 프로그램의 핵심 예측을 확인한다.

ABSTRACT

For abelian varieties $A$, in the most interesting cohomology theories $H^* (A)$ is the exterior algebra of $H^1(A)$. In this paper we study a weak generalization of this in the case of arithmetic manifolds associated to orthogonal or unitary groups. In this latter case recall that arithmetic manifolds associated to standard unitary groups $U(p,q)$ ($p\geq q$) over a totally real numberfield have vanishing cohomology in degree $i=1, ..., q-1$ and that, following earlier works of Kazhdan and Shimura, Borel and Wallach constructed in \cite{BorelWallach} non zero degree $q$ cohomology classes. These cohomology classes arise as theta series. After generalizing the construction of these theta series. We prove that arbitrary (up to the obvious obstructions) cup-products of these theta series and their complex conjugates virtually non vanish, i.e. ``up to Hecke translate'', in the cohomology ring.

연구 동기 및 목표

• 아벨 다양체의 코homology가 H^1 위의 외부 대수임을 보여주는 고전적 결과를 오르토고널 및 유니터리 군과 관련된 산술 다각형으로 확장하기 위해.
• O(p,q) 및 U(p,q)에 대한 대칭 공간의 산술 몫의 맥락에서 코homology 환의 구조를 연구하기 위해.
• 테타 급수에서 유래한 코homology 클래스의 cup 곱이 약한 '가상' 의미에서 영이 아니라는 것을 조사하기 위해.
• Bergeron(2006)이 제안한 산술 국소 대칭 공간의 코homology에서 cup 곱의 비영성에 대한 추측적 그림을 확인하기 위해.
• 절대 비영성 대신 히케 번역을 통해 비자명한 cup 곱의 존재를 확립하기 위해.

제안 방법

• 웨일 표현과 테타 이전을 통한 테타 급수를 코homology 클래스로 일반화하는 구조를 확장한다.
• 메타플레틱 테타 이전을 사용하여 쌍대 리드보이드 쌍에서의 자동형 형태로부터 차수 q의 코homology 클래스를 구성한다.
• 보렐–월라흐 구조를 적용하여 테타 급수를 통해 차수 q에서 비영인 코homology 클래스를 구성한다.
• 테타 이전의 히케-등변성을 활용하여 유한 커버에서 cup 곱을 분석한다.
• 시겔–웨일 공식과 웨일–세킨 공식을 사용하여 테타 이전과 아이즈라이스트 급수 및 코homological 불변량을 연결한다.
• 자기형 형태 이론과 코homological 유도 이론을 적용하여 cup 곱의 가상 비영성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 U(p,q) 또는 O(p,q)와 관련된 산술 다각형에서 테타 급수에서 유래한 코homology 클래스의 cup 곱이 영이 아니라는 것을 입증할 수 있는가?
• RQ2 테타 급수를 통해 구성된 코homology 클래스가 비자명한 환의 구조를 얼마나 잘 생성하는가?
• RQ3 히케 번역을 고려할 때 이러한 테타 클래스의 cup 곱에 대해 가상 비영성 성질이 존재하는가?
• RQ4 산술 몫의 코homology 환의 구조는 아벨 다양체의 코homology와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 시무라 다양체의 코homology에서 cup 곱의 비영성에 대한 추측적 그림이 이 설정에서 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 두 개의 테타 급수 코homology 클래스(그리고 그 복소수 켤레)의 cup 곱은 가상으로 영이 아니며, 즉 유한한 히케 번역 이후에 비영이 된다.
• 비영성은 관련 아이즈라이스트 급수 $ E(g', 1/2, f) $ 의 비영성에 의해 확립되며, 이는 $ g' $ 에 대한 함수로서 비영임을 보여준다.
• 테타 이전 구조는 차수 $ q $ 에서 비영인 코homology 클래스를 유도하며, 이는 보렐과 월라흐의 이전 결과를 일반화한다.
• 히케 연산자에 대한 cup 곱의 함의성과 테타 이전의 히케-등변성을 활용하여 cup 곱의 가상 비영성을 증명한다.
• 모든 $ g' $ 에 대해 코homology 클래스 $ [ heta(g', heta)] $ 는 비영이므로, 한계 $ H^*(Sh^0G) $ 에서 관련 코homology 클래스의 비영성을 암시한다.
• 결과적으로 이는 산술 국소 대칭 공간의 코homology 환의 구조에 대한 Bergeron(2006)의 핵심 예측을 확인하며, 특히 코homological Langlands 프로그램의 맥락에서 중요하다.