[논문 리뷰] Profunctor optics and traversals

Mario Román|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 탐바라 모듈러와 코엔드 미적분을 사용하여, 트래버설을 포함한 옵티컬의 통합된 프로파인처 기반 프레임워크를 제시한다. 트래버설은 형태-내용 코모나드의 코알제브라로 유도되며, 패스트로-스트리트 코모나드를 통해 프로파인처 표현 정리가 확립되고, 헤이즐랜드의 의미론을 충실하게 모델링하기 위해 명확한 옵티컬과 같은 정교한 개념이 필요하다는 점이 밝혀진다.

ABSTRACT

Optics are bidirectional accessors of data structures; they provide a powerful abstraction of many common data transformations. This abstraction is compositional thanks to a representation in terms of profunctors endowed with an algebraic structure called Tambara module. There exists a general definition of optic in terms of coends that, after some elementary application of the Yoneda lemma, particularizes in each one of the basic optics. Traversals used to be the exception; we show an elementary derivation of traversals and discuss some other new derivations for optics. We relate our characterization of traversals to the previous ones showing that the coalgebras of a comonad that represents and split into shape and contents are traversable functors. The representation of optics in terms of profunctors has many different proofs in the literature; we discuss two ways of proving it, generalizing both to the case of mixed optics for an arbitrary action. Categories of optics can be seen as Eilenberg-Moore categories for a monad described by Pastro and Street. This gives us two different approaches to composition between profunctor optics of different families: using distributive laws between the monads defining them, and using coproducts of monads. The second one is the one implicitly used in Haskell programming; but we show that a refinement of the notion of optic is required in order to model it faithfully. We provide experimental implementations of a library of optics in Haskell and partial Agda formalizations of the profunctor representation theorem.

연구 동기 및 목표

• 프로파인처와 탐바라 모듈러를 사용하여 옵티컬의 구성적이고 대수적인 프레임워크를 제공하기 위해.
• 형태-내용 코모나드의 코알제브라로 트래버설을 유도하여, 이들이 가역적 함자와 연결됨을 보여주기 위해.
• 코엔드 미적분과 요네다 보조정리를 사용하여 옵티컬의 프로파인처 표현 정리를 형식화하기 위해.
• 코모나드의 쌍대곱을 통해 모듈러리티 문제를 해결하기 위해, 명확한 옵티컬과 코모나드의 쌍대곱을 도입하기 위해.
• 실험적 헤이즐랜드 라이브러리와 부분적인 아가다 형식화를 통해 이론을 구현하고 검증하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 코엔드 정의에서 최적형을 도출하기 위해 코엔드 미적분과 요네다 보조정리를 사용한다.
• 행동 호환성 구조를 인코딩하는 탐바라 모듈러 구조를 갖춘 프로파인처로 옵티컬을 표현한다.
• 패스트로-스트리트 구성법을 적용하여, 그 알제브라가 트래버설과 대응하는 코모나드를 정의한다.
• 선형성과 단위성은 코알제브라 법칙에 의해 강제되는 바, 형태-내용 코모나드의 코알제브라로 트래버설을 특성화한다.
• 코모나드의 쌍대곱을 통해 헤이즐랜드의 옵티컬을 충실하게 모델링할 수 있도록, 구성의 정교화를 위해 명확한 옵티컬을 도입한다.
• 우측 칸 확장과 우측 수반을 사용하여, 가역적 함자와 코프리미티브 구성 사이의 수반을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코엔드 미적분을 사용하여 일반적 옵티컬 정의에서 트래버설을 체계적으로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 코모나드의 코알제브라로서 트래버설의 범주론적 특성은 무엇이며, 이는 가역적 함자와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 분배 법칙이나 코모나드의 쌍대곱을 통해 서로 다른 옵티컬 가족 간에 프로파인처 옵티컬을 어떻게 조합할 수 있는가?
• RQ4 헤이즐랜드와 같은 기능형 프로그래밍 언어에서의 조합을 충실하게 모델링하기 위해 옵티컬 개념은 어떤 정교화가 필요한가?
• RQ5 임의의 모나이드 작용을 가진 혼합 옵티컬로 프로파인처 표현 정리를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 선형성과 단위성이 코알제브라 공리에서 유도되며, 형태-내용 코모나드의 코알제브라로 트래버설이 특성화된다.
• 패스트로-스트리트 코모나드를 통한 증명을 통해 프로파인처 표현 정리가 입증되며, 옵티컬이 탐바라 모듈러 구조를 갖춘 프로파인처와 대응됨을 보여준다.
• 옵티컬의 범주가 모나드의 아이レン버그-무어 범주로서 나타나며, 조합의 범주론적 기초를 제공한다.
• 특히 코모나드의 쌍대곱의 맥락에서 충실한 모델링을 가능하게 하기 위해 명확한 옵티컬이 도입된다.
• 아가다에서 코프리미티브 트래버설 구조가 형식화되었으며, 우측 칸 확장을 통해 $KH$ 가 $H$ 에 대한 코프리미티브 트래버설임을 보여준다.
• 수반 $ \mathbf{Trv}(T, KH) \cong [\mathbf{Sets}, \mathbf{Sets}]({\cal U}T, H)$ 가 확립되었으며, 이는 $KH$ 가 코프리미티브임을 증명한다.