[논문 리뷰] Projective completions of graded unipotent quotients

Gergely Bérczi, Brent Doran외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유니포텐트 라디컬이 등급을 가진 비재조합 대수적 군에 대해 기하학적 불변량 이론(GIT)의 효과적인 유사체를 개발한다. 양의 등급 조건이 만족될 경우, 프로젝티브 스킴의 ힷ-안정 위치는 블로우업을 통한 $X \times \mathbb{A}^1$의 프로젝티브 완비화를 갖는 기하학적 몫을 갖는다. 주요 기여는 힐버트-무지드 스타일 기준과 명시적 블로우업 절차를 사용하여 이러한 작용에 대해 좋은 몰과 기하학적 몫을 체계적으로 구성하는 것이다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to show that classical geometric invariant theory (GIT) has an effective analogue for linear actions of a non-reductive algebraic group $H$ with graded unipotent radical on a projective scheme $X$. Here the linear action of $H$ is required to extend to a semi-direct product $\hat{H} = H times \mathbb{G}_m$ with a multiplicative one-parameter group which acts on the Lie algebra of the unipotent radical $U$ of $H$ with all weights strictly positive, and which centralises a Levi subgroup $R \cong H/U$ of $H$. We show that $X$ has an $H$-invariant open subscheme (the 'hat-stable locus') which has a geometric quotient by the $H$-action. This geometric quotient has a projective completion which is a categorical quotient (indeed, a good quotient) by $\hat{H}$ of an open subscheme of a blow-up of the product of $X$ with the affine line; with additional blow-ups a projective completion which is itself a geometric quotient can be obtained. Furthermore the hat-stable locus of $X$ and the corresponding open subsets of the blow-ups of the product of $X$ with the affine line can be described effectively using Hilbert-Mumford-like criteria combined with the explicit blow-up constructions. Applications include the construction of moduli spaces of sheaves and Higgs bundles of fixed Harder--Narasimhan type over a fixed nonsingular projective scheme, and of moduli spaces of unstable projective curves of fixed singularity. More recently, cohomology theory for reductive GIT quotients were extended by the first and fourth author to the non-reductive situation studied in this paper, and this was used to prove the Green--Griffiths--Lang and Kobayashi hyperbolicity conjectures for generic projective hypersurfaces with polynomial bounds on their degree.

연구 동기 및 목표

• 비재조합 대수적 군의 선형 작용에 대해 고전적 기하학적 불변량 이론(GIT)을 등급을 가진 유니포텐트 라디컬을 가진 군으로 확장하는 것.
• H가 작용하는 ힷ-안정 위치 $X^{\hat{s},H}$의 기하학적 몫을 구성하는 것. 이는 모듈리 구축의 핵심 단계이다.
• $X \times \mathbb{A}^1$의 블로우업과 $\hat{H}$-몫을 사용하여 몰 $X^{\hat{s},H}/H$의 프로젝티브 완비화를 제공하는 것.
• 힐버트-무지드 기준과 명시적 블로우업 구성법을 사용하여 ힷ-안정 위치 및 관련 열린 부분집합을 효과적으로 묘사하는 것.

제안 방법

• 유니포텐트 라디컬 $U$를 엄격히 양의 가중치로 등급화하는 $\mathbb{G}_m$을 사용해 반직접곱 $\hat{H} = H \rtimes \mathbb{G}_m$를 도입한다.
• 프로젝티브 완비화 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$에 유도된 작용을 하는 $R \cong H/U$가 작용하는 안정 위치의 역상으로서 ힷ-안정 위치 $X^{\hat{s},H}$를 정의한다.
• $X \times \mathbb{A}^1$의 블로우업의 열린 부분스킴에 대한 $\hat{H}$에 의한 측도적 몫으로서 프로젝티브 완비화 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$를 구성한다.
• $\widetilde{X \times \mathbb{P}^1} \mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}} \hat{U} / \!/ R$를 통한 추가 블로우업을 사용하여 기하학적 몫 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$를 얻는다.
• 힐버트-무지드 유사 기준을 적용하여 블로우업 구성에서 ힷ-안정 위치와 해당 열린 부분집합을 효과적으로 묘사한다.
• 반복적 블로우업과 차원 감소를 포함하는 알고리즘적 프레임워크를 사용하여 수렴성을 보장하고 원하는 몫을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 GIT는 등급을 가진 유니포텐트 라디컬을 가진 비재조합 군, 특히 유니포텐트 라디컬이 재조합이 아닌 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 비재조합 작용에 대해 기하학적 몫 $X^{\hat{s},H}/H$의 프로젝티브 완비화를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 유니포텐트 라디컬을 효과적으로 몫 구성이 가능하도록 하는 데 $\mathbb{G}_m$-작용이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 비재조합 설정에서 힐버트-무지드 기준을 사용하여 ힷ-안정 위치 $X^{\hat{s},H}$를 효과적으로 묘사할 수 있는가?
• RQ5 프로젝티브 완비화 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$가 기하학적 몫이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 레비 부분군 $R$가 자명할 경우 ힷ-안정 위치 $X^{\hat{s},H}$는 비어 있지 않으며, 일반적으로 $R$가 프로젝티브 완비화 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$에 작용하는 안정 위치의 역상이다.
• 기하학적 몫 $X^{\hat{s},H}/H$는 $X \times \mathbb{A}^1$의 블로우업의 열린 부분스킴에 대한 $\hat{H}$에 의한 양호한 몫인 프로젝티브 완비화 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$를 갖는다.
• 추가 블로우업을 통해 기하학적 몫인 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$로의 더 이상의 프로젝티브 완비화를 구성할 수 있다.
• 블로우업 구성에서 ힷ-안정 위치 및 열린 부분집합의 구성은 힐버트-무지드 기준과 명시적 블로우업 순서를 결합하여 효과적으로 묘사할 수 있다.
• 각 루프에서 군의 차원이 감소하므로, 이론적 구조는 유한한 내림차순을 통해 자명한 군으로 수렴하여 몫을 구성하는 알고리즘이 종료됨을 보장한다.
• 이 방법은 하드러-나라시안 타입이 고정된 셸브와 히긴스 번들, 고정된 특이점 유형을 가진 불안정 곡선의 모듈리 문제에 적용 가능하다.