[논문 리뷰] Proof of some conjectured formulas for 1/pi by Z.-W. Sun

Gert Almkvist, Alexander Aycock외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 14.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Z.-W. Sun이 제안한 $1/\pi$에 대한 여러 추측 공식을 라만두잔 유형의 초함수 급수와 모듈라 불변량을 연결하는 변환 방법을 통해 증명한다. 알려진 $1/\pi$ 급수를 새로운 형태로 변환하는 일반적인 변환 공식을 수립하며, 이는 모듈라 함수와 초함수 함수를 통해 구현된다. 이 방법을 통해 $163$과 라만두잔-사토 급수를 포함한 여러 공식이 증명된다.

ABSTRACT

Recently Z.W.Sun found over hundred conjectured formulas for 1/pi. Many of them were proved by H.H.Chan, J.Wan andW.Zudilin (see [3], [8] in the paper). Here we show that several other formulas in [6] are simple transformations of known formulas for 1/pi.

연구 동기 및 목표

• Z.-W. 수니가 제안한 $1/\pi$ 공식을 증명함. 특히 큰 대수적 수와 계수 수가 1인 판별식을 포함한 공식들에 중점을 둠.
• 라만두잔 유사 $1/\pi$ 급수와 새로운 항등식을 모듈라 함수와 초함수 함수를 통해 연결하는 일반적인 변환 프레임워크를 수립함.
• 예를 들어 $262537412640769728$를 포함한 복잡해 보이는 공식들이 체드노프스키의 급수와 같은 알려진 급수의 대수적 변환임을 확인함.
• 기존 급수로부터 새로운 $1/\pi$ 항등식을 유도하는 체계적인 방법을 제공함. 이는 변환 $x \mapsto -x/(1-Mx)$와 미분방정식을 활용함.
• 특정 발산 급수에 대한 초합동성(예: $s=1/3$일 때 $p^3$ 모듈로)을 확인하고, 이를 $1/\pi$ 항등식과 연결함.

제안 방법

• 일반적인 변환 공식 유도: $\sum_{n=0}^\infty A_n x^n = \frac{1}{\sqrt{1-Mx}} \sum_{n=0}^\infty a_n \left(-\frac{x}{1-Mx}\right)^n$, 여기서 $A_n$은 초함수 합이고 $a_n$은 알려진 라만두잔 유형 계수임.
• 이 변환을 $\sum a_n (a + bn) x_0^n = \frac{1}{\pi}$ 형태의 알려진 $1/\pi$ 급수에 적용하여, 새로운 매개변수 $w_0$, $A$, $B$를 가진 새로운 항등식을 생성함.
• 등가성 검증을 위해 미분방정식 활용: 양변이 동일한 3차 상미분방정식을 만족하며, 첫 네 계수의 일치로 항등식이 확인됨.
• 모듈라 함수와 특이 모듈라를 활용: $s=1/6, 1/3, 1/4$일 때 매개변수 $M$은 각각 $1728, 108, 256$에 해당하며, 계수 수가 1인 $j$-불변량과 연결됨.
• 역함수 성질 적용: 이 변환은 자기역행성임을 이용해 $a_n$과 $A_n$ 급수 간의 이중적 연결이 가능함.
• 기호 계산(Maple)을 사용해 특정 사례(예: $s=1/6$)에서 변환을 검증함. 이는 미분방정식과 초기 항의 일치를 점검함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 163과 $262537412640769728$를 포함한 거대한 공식은 체드노프스키의 $1/\pi$ 급수의 변환으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 라만두잔 유형의 $1/\pi$ 급수를 다른 매개변수와 수렴 특성을 가진 새로운 항등식으로 변환하는 일반적인 변환 공식이 존재하는가?
• RQ3 특히 대수적 수와 큰 분모를 포함한 수니 목록의 추측 공식들은 알려진 $1/\pi$ 급수에서 모듈라 불변량을 통해 유도되는가?
• RQ4 이 변환 방법을 사용해 초합동성(예: $s=1/3$일 때 $p^3$-합동성)을 증명할 수 있는가?
• RQ5 특이 모듈라와 초함수 함수는 알려진 급수에서 새로운 $1/\pi$ 항등식을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 공식 $\sum_{n=0}^\infty A_n P(n) \frac{1}{262537412640769728^n} = \frac{13803981511092062440689}{\pi \sqrt{163}}$은 $M=1728$인 체드노프스키 공식의 변환 결과임.
• $s=1/3$일 때, 변환은 $w_0 = 1/300, 1/1836, 1/8748, \dots$를 가진 8개의 새로운 항등식을 도출하며, 모두 $\sum A_n (A+Bn) w_0^n = \frac{1}{\pi}$를 만족함.
• $s=1/4$일 때, 변환은 $\sum (1+8n)A_n \frac{1}{9^n} = \frac{9}{2\pi}$와 그 역행 항등식 $\sum (1-n)A_n \left(\frac{8}{9}\right)^n = -\frac{9}{\pi}$를 생성함.
• $s=1/6$일 때, $\tau_0 = \sqrt{7}i$인 항등식은 $\sum (A + Bn) A_n w_0^n = \frac{1}{\pi}$와 그 역행 항등식 $\sum (\hat{A} + \hat{B}n) A_n w_1^n = -\frac{7}{\pi}$를 도출함. 여기서 $w_1 = \frac{1}{2} + \frac{171}{14450}\sqrt{1785}$.
• 이 방법은 초합동성을 확인함: $\sum_{n=0}^{p-1} a_n (4+15n) \frac{1}{(-27)^n} \equiv 4p \binom{-3}{p} \mod p^3$, 수니가 추측한 바임.
• 미분방정식을 통한 변환 검증: 양변이 $x=0$, $x=1/1728$, $x=\infty$에서 정칙 특이점을 가진 동일한 3차 상미분방정식을 만족함.