[논문 리뷰] Propagation of chaos for some 2 dimensional fractional Keller Segel equations in diffusion dominated and fair competition cases

Samir Salem|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 18.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수라플라스ian $-(-\Delta)^{a/2}$, $a\in(1,2)$에 의해 지배되는 이중 차원 분수 Keller–Segel 모델에 대해 비정상적 확산과 특이 상호작용 커널 $|x|^{1-\alpha}$, $\alpha\in(1,a]$를 고려하여 혼돈의 전파를 수립한다. $\alpha\in(1,a)$에 대해 분수 피셔 정보 기능의 $\Gamma$-하향 연속성에 기반하여 완전한 혼돈의 전파를 증명하고, 비율이 균형을 이루는 경우 $a=\alpha$에 대해 임계 질량 이하 조건 하에서 수렴/일致성 결과를 확보한다.

ABSTRACT

In this work we deal with the local in time propagation of chaos without cut-off for some two dimensional fractional Keller Segel equations. More precisely the diffusion considered here is given by the fractional Laplacian operator $-(-Δ)^{\frac{a}{2}}$ with $a \in (1,2)$ and the singularity of the interaction is of order $|x|^{1-α}$ with $α\in ]1,a]$. In the case $α\in (1,a)$ we give a complete propagation of chaos result, proving the $Γ$-l.s.c property of the fractional Fisher information, already known for the classical Fisher information, using a result of Mischler and Hauray. In the fair competition case $a=α$, we only prove a convergence/consistency result in a sub-critical mass regime, similarly as the result obtained for the classical Keller-Segel equation.

연구 동기 및 목표

• 분수라플라스ian $-(-\Delta)^{a/2}$, $a\in(1,2)$에 의해 지배되는 이중 차원 분수 Keller–Segel 시스템에서 $a$-안정 레비 과정과 특이 상호작용을 고려하여 혼돈의 전파를 수립한다.
• 확산이 지배하는 ($\alpha\in(1,a)$) 및 비율이 균형을 이루는 ($a=\alpha$) 두 영역에서 시스템을 분석한다.
• 전통적인 혼돈의 전파 프레임워크를 분수 확산 및 특이 상호작용 커널으로 확장한다.
• 확산이 지배하는 경우 분수 피셔 정보 기능의 $\Gamma$-하향 연속성 증명한다.
• 임계 질량 이하 조건 하에서 비율이 균형을 이루는 경우 입자 시스템의 수렴/일치성 결과를 수립한다.

제안 방법

• 입자 수 $N$개의 상호작용하는 $a$-안정 레비 과정을 사용하여 박테리아의 화학유도를 모델링하고, 상호작용 커널 $K_\alpha(x) = -x/|x|^\alpha$를 적용한다.
• 경계 조건 $N \to \infty$에서 비선형 편미분방정식 근사 $\partial_t \rho_t + \chi \nabla \cdot (\rho_t \ast K_\alpha) + (-\Delta)^{a/2} \rho_t = 0$를 유도한다.
• 마틴갈 방법을 사용하여 입자 시스템이 비선형 확률미분방정식 및 편미분방정식 근사로 수렴함을 증명한다.
• 분수 피셔 정보 기능을 적용하고, $\alpha\in(1,a)$에 대해 [18]의 결과를 활용하여 그 $\Gamma$-하향 연속성 성질을 증명한다.
• 엄밀한 추정과 모멘트 유계 조건을 사용하여 경험 측도를 제어하고 약한 수렴을 보장한다.
• 볼록 조합 기법과 약한 수렴 기법을 활용하여 극한 기능의 하향 연속성과 일치성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 수 $N$개의 상호작용하는 $a$-안정 레비 과정이 $N \to \infty$의 극한에서 비선형 분수 편미분방정식으로 수렴하는가?
• RQ2 분수 Keller–Segel 모델에서 혼돈의 전파를 보장하기 위해 $a$와 $\alpha$에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 분수 피셔 정보 기능 $\Gamma$-하향 연속성인가? 이는 확산이 지배하는 영역에서 혼돈의 전파를 가능하게 하는가?
• RQ4 비율이 균형을 이루는 경우 $a = \alpha$에서 수렴/일치성 결과를 확보할 수 있는가?
• RQ5 초기 질량은 분수 시스템의 전역 적으로 잘 정의된 해 및 혼돈의 전파에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\alpha \in (1,a)$인 경우, 논문은 분수 피셔 정보 기능의 $\Gamma$-하향 연속성 증명에 기반하여 완전한 혼돈의 전파를 수립한다.
• 입자 시스템의 비선형 편미분방정식 수렴은 마틴갈 방법과 엄밀한 추정에 의해 증명된다.
• 비율이 균형을 이루는 경우 $a = \alpha$에서는 임계 질량 이하 조건 하에서 수렴/일치성 결과가 확보되며, 이는 고전적 결과와 유사하다.
• 증명은 모멘트 유계와 경험 측도의 약한 수렴에 기반하며, 수렴 속도는 $O((N-1)^{-(1-1/\kappa)})$이다. 여기서 $\kappa \in (1,2)$이다.
• 기능 $\tilde{\mathcal{I}}_a$가 $\Gamma$-하향 연속임을 증명하여 약한 수렴 하에서 극한의 안정성을 보장한다.
• 극한 측도는 $\tilde{\mathcal{I}}_a(\pi) = \theta \tilde{\mathcal{I}}_a(F) + (1-\theta)\tilde{\mathcal{I}}_a(G)$를 만족하여 극한 기능의 일치성을 확인한다.