[논문 리뷰] Propagation of epistemic uncertainty in queueing models with unreliable server using chaos expansions

Katia Bachi, Cédric Chauvière외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 47인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 불안정한 대기열 시스템, 특히 서버 고장이 발생하는 M/M/1 및 M/G/1 모델에서 지식 부족에 기인한 불확실성(epistemic uncertainty)을 정량화하고 전파하기 위해 다항 혼합 확장(PCE) 기반 방법을 제안한다. 정적 분포를 정규 직교 다항식 기반의 확률적 전개로 표현함으로써, 이 방법은 통계적 모멘트와 Sobol’ 민감도 지수를 효율적으로 계산한다. 몬테카를로 시뮬레이션 대비 뛰어난 수렴성을 보이며, 임계값 기반 복구 정책을 적용한 M/M/1/N 시스템에서 도착률 λ가 불확실성의 주요 원인로 규명되었다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a numerical approach based on Chaos expansions to analyze the sensitivity and the propagation of epistemic uncertainty through a queueing systems with breakdowns. Here, the quantity of interest is the stationary distribution of the model, which is a function of uncertain parameters. Polynomial chaos provide an efficient alternative to more traditional Monte Carlo simulations for modelling the propagation of uncertainty arising from those parameters. Furthermore, Polynomial chaos expansion affords a natural framework for computing Sobol' indices. Such indices give reliable information on the relative importance of each uncertain entry parameters. Numerical results show the benefit of using Polynomial Chaos over standard Monte-Carlo simulations, when considering statistical moments and Sobol' indices as output quantities.

연구 동기 및 목표

• 입력 매개변수에 대한 데이터가 제한된 상황에서 불안정한 서버를 갖는 대기열 시스템에서 지식 부족에 기인한 불확실성을 정량화하기 위한 수치적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 주요 매개변수(예: 도착률, 고장률 등)의 불확실성이 시스템의 정적 분포를 통해 어떻게 전파되는지 분석하기 위해.
• 성능 측정치에서 매개변수 중요도를 순위 매기기 위해 Sobol’ 지수를 사용한 효율적인 민감도 분석을 가능하게 하기 위해.
• 불확실성 전파를 위한 다항 혼합과 기존 몬테카를로 시뮬레이션 간의 계산 효율성 및 정확도를 비교하기 위해.
• 유한 버퍼와 서버 고장을 고려한 두 가지 대기열 모델(M/G/1/N 및 M/M/1/N)에 대해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 정규 직교 다항식 기반의 일반화된 다항 혼합 확장(PCE)을 사용하여 불확실한 입력 매개변수 θ에 대한 정적 분포 πθ를 함수로 모델링한다.
• 구분점 또는 갈레르킨 사영을 통해 적분점에서의 임베디드 점프 체인 방정식을 풀어 PCE 계수를 계산한다.
• PCE 계수로부터 직접적으로 정적 분포의 통계적 모멘트(기댓값, 분산, 왜도, 첨도)를 계산한다.
• PCE 분해에서 유도된 Sobol’ 지수를 사용하여 개별 및 조합된 입력 매개변수의 출력 분산에 기여도를 정량화한다.
• 수렴성과 정확도를 평가하기 위해 대량의 샘플을 사용한 몬테카를로 시뮬레이션 결과와 비교하여 결과를 검증한다.
• 유한 버퍼와 서버 고장을 고려한 M/M/1/N 및 M/G/1/N 대기열 모델에서 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 매개변수(예: 도착률, 고장률 등)의 지식 부족에 기인한 불확실성이 불안정한 대기열 시스템의 정적 분포를 어떻게 전파하는가?
• RQ2 서버 고장이 발생하는 대기열 시스템에서 정적 분포에 가장 큰 영향을 미치는 입력 매개변수는 무엇인가?
• RQ3 통계적 모멘트 및 민감도 지수 계산에서 다항 혼합 확장이 몬테카를로 시뮬레이션 대비 수렴 속도와 정확도 면에서 어느 정도 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 고차수 Sobol’ 지수와 일차 지수를 비교할 때, 매개변수 간 상호작용의 존재 여부를 어떻게 판단할 수 있는가?
• RQ5 다른 매개변수들을 평균값으로 고정하고 오직 가장 영향력이 큰 매개변수만 랜덤 변수로 간주할 경우, 시스템을 정확하게 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 임계값 기반 복구 정책을 적용한 M/M/1/N 대기열에서 도착률 λ가 가장 영향력 있는 매개변수로 규명되었으며, 일차 Sobol’ 지수는 다른 매개변수들보다 뚜렷하게 높았다.
• 고차수 Sobol’ 지수는 무시할 만할 정도로 작았으며, 이는 매개변수 간 상호작용이 출력 분산에 미치는 영향이 미미했음을 의미하며, 총합 지수는 일차 지수와 거의 일치했다.
• 오직 λ만 랜덤 변수로 간주하고 나머지 매개변수들은 평균값으로 고정한 경우, 모든 네 개의 매개변수를 랜덤 변수로 간주한 경우와 비교해 정적 분포의 통계적 모멘트(기댓값, 분산, 왜도, 첨도)가 유사하게 계산되었다.
• PCE 기반 방법은 몬테카를로 시뮬레이션 대비 뛰어난 수렴성을 보이며 통계적 모멘트를 정확하게 추정하였다. 이는 일변수 및 네 변수 랜덤 사례에서 표 13–16의 결과가 일치함으로써 입증되었다.
• 모든 네 개의 매개변수가 랜덤일 경우, 분산 추정치가 약간 증가함(예: π₀₀ 분산은 14.711×10⁻⁶에서 25.338×10⁻⁶로 증가)하여 불확실성 전파가 확인되었다.
• 이 방법은 안정성과 효율성을 보였으며, 구성 요소 전반에서 첨도 값이 약 3(정규분포 유사)에 가까워 불확실성 하에서 출력 분포가 안정적임을 시사했다.