[논문 리뷰] Properties of the extended Clifford group with applications to SIC-POVMs and MUBs

D. M. Appleby|ArXiv.org|2009. 09. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 확장 클리포드 군의 충실한, 위상 최적화된 유니터리 표현을 수립하여, (반-)심플렉틱 행렬로부터 (반-)유니터리 연산자를 명시적으로 계산할 수 있도록 한다. 이 연산자의 고유값, 순서, 근을 유도하고, 이를 통해 SIC-POVM 기저 상태에 대한 자연스러운 기저를 구성하며, MUB 순환 문제를 해결한다. $d \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우, 클리포드 반유니터리 연산자가 웃터스-필즈 MUB를 모두 순환함을 보이며, 모든 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 MUB는 각각 $ (d+1)/2 $개의 기저로 이루어진 두 그룹으로 분리되며, 각각은 단일 클리포드 유니터리 연산자에 의해 순환됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a version of the extended Clifford Group which is defined in terms of a finite Galois field in odd prime power dimension. We show that Neuhauser's result, that with the appropriate choice of phases the standard (or metaplectic) representation of the discrete symplectic group is faithful also holds for the anti-unitary operators of the extended group. We also improve on Neuhauser's result by giving explicit formulae for the (anti-)unitary corresponding to an arbitrary (anti-)symplectic matrix. We then go on to find the eigenvalues and the order of an arbitrary (anti-)symplectic matrix. The fact that in prime power dimension the matrix elements belong to a field means that this can be done using the same techniques which are used to find the eigenvalues of a matrix defined over the reals-including the use of an extension field (the analogue of the complex numbers) when the eigenvalues are not in the base field. We then give an application of these results to SIC-POVMs (symmetric informationally complete positive operator valued measures). We show that in prime dimension our results can be used to find a natural basis for the eigenspace of the Zauner unitary in which SIC-fiducials are expected to lie. Finally, we apply our results to the MUB cycling problem. We show that in odd prime power dimension d, although there is no Clifford unitary, there is a Clifford anti-unitary which cycles through the full set of Wootters-Fields MUBs if d=3 (mod 4). Also, irrespective of whether d=1 or 3 (mod 4), the Wootters-Fields MUBs split into two groups of (d+1)/2 bases in such a way that there is a single Clifford unitary which cycles through each group separately.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 유한체 위의 확장 클리포드 군에 대한 충실한, 비프로젝티브 유니터리 표현을 수립하기.
• 임의의 (반-)심플렉틱 행렬에 대응하는 (반-)유니터리 연산자를 계산하는 명시적 공식을 도출하기.
• 소수 차원에서 Zauner 유니터리의 고유공간에 대한 자연스러운 기저를 구성하기 위해 표현을 응용하기.
• 유니터리 및 반유니터리 연산자를 식별하여 전체 또는 분할된 상호중립기저 집합을 순환하는 방식으로 MUB 순환 문제를 해결하기.

제안 방법

• 메타플레크틱 표현을 사용하여 위상을 철저히 선택함으로써, (반-)심플렉틱 행렬에서 (반-)유니터리 연산자로의 사상이 진정한 군 준동형이 되도록 한다.
• 유한체 산술과 확장체(복소수의 유사체계)를 적용하여, 고유값이 기저 체 밖에 있을 경우에도 (반-)심플렉틱 행렬의 고유값을 계산한다.
• (반-)유니터리 연산자를 이동 연산자의 선형 조합으로 표현함으로써, 명시적인 행렬 원소 계산이 가능하게 한다.
• 지수 함수 $f_F(s)$와 스케일링 인자 $g_F(s)$를 사용하여 $U_F$가 MUB 기저 상태에 작용하는 변환 규칙을 도출한다.
• 확장체의 구조를 이용하여 양자 광학에서의 복소수 매개변수화와 유사한 방식으로 이동 연산자의 매개변수화를 구성한다.
• 특정 행렬 $A$ 및 $A^2$의 작용을 분석하여 MUB 간 순환 행동을 규명하며, $d \equiv 1$ 및 $d \equiv 3 \pmod{4}$의 경우를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장 클리포드 군의 메타플레크틱 표현이 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 반유니터리 연산자에 대해 충실하게(비프로젝티브하게) 만들 수 있는가?
• RQ2 유한체 위에서 임의의 (반-)심플렉틱 행렬에 대응하는 (반-)유니터리 연산자를 계산하는 명시적 공식은 무엇이 있는가?
• RQ3 유한체 및 확장체 기법을 사용하여 (반-)유니터리 연산자의 고유값, 순서, 근을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 이 결과를 사용하여 SIC-POVM 기저 상태가 포함된 Zauner 유니터리의 고유공간에 대한 자연스러운 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ5 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 전체 웃터스-필즈 MUB를 순환하는 단일 클리포드 (반-)유니터리 연산자가 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떤 조건에서 존재하는가?

주요 결과

• 적절한 위상 선택을 통해 확장 클리포드 군의 메타플레크틱 표현이 충실하게 되었으며, 모든 $F_1, F_2 \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$에 대해 $U_{F_1}U_{F_2} = U_{F_1F_2}$ 가 정확히 성립한다.
• 모든 $F \in \mathrm{ESL}(2,\mathbb{F}_d)$로부터 $U_F$를 계산하는 명시적 공식이 도출되었으며, 이는 이동 연산자의 선형 조합으로 표현된다.
• (반-)심플렉틱 행렬의 고유값은 확장체를 사용하여 계산되었으며, 이로써 체 위에서의 완전한 스펙트럼 분석이 가능해졌다.
• 소수 차원에서 Zauner 유니터리의 고유공간에 대한 자연스러운 기저가 구성되었으며, 이 기저는 SIC-POVM 기저 상태를 포함할 것으로 예상된다.
• $d \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우, 전체 $d+1$ 개의 웃터스-필즈 MUB를 순환하는 클리포드 반유니터리 연산자가 존재한다.
• 모든 홀수 소수 거듭제곱 차원에서 $d+1$ 개의 MUB는 각각 $(d+1)/2$ 개의 기저로 이루어진 두 그룹으로 분리되며, 각 그룹은 단일 클리포드 유니터리 연산자에 의해 별도로 순환된다.