[논문 리뷰] Property A and uniform embedding for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 두 번 가산(ล.ซ.ซ.) 군에 대해 유진(Yu)의 Property A의 유사체를 수립하며, 그것이 무한한 곳에서의 애매성과 힐버트 공간으로의 균일 통합성과 동치임을 증명한다. 이는 스칸달리스, 두, 유가 이산 군에 대해 증명한 바이아스맵의 분할 단사성 결과를 모든 이러한 군으로 일반화한다.

ABSTRACT

For locally compact groups, we define an analogue to Yu's property A that he defined for discrete metric spaces. We show that our property A for locally compact groups agrees with Roe's notion of property A for proper metric spaces, defined in \cite{R05}. We prove that many of the results that are known to hold in the discrete setting, hold also in the locally compact setting. In particular, we show that property A is equivalent to amenability at infinity (see \cite{HR00} for the discrete case), and that a locally compact group with property A embeds uniformly into a Hilbert space (see \cite{Yu00} for the discrete case). We also prove that the Baum-Connes assembly map with coefficients is split-injective, for every locally compact group that embeds uniformly into a Hilbert space. This extends results by Skandalis, Tu and Yu \cite{STY02}, and by Chabert, Echterhoff and Oyono-Oyono \cite{CEO04}.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴act한 두 번 가산(l.c.s.c.) 군에 대해, 이산 메트릭 공간에 대한 유진의 정의를 일반화하여 Property A를 정의하고 특성화한다.
• l.c.s.c. 군에 대해 Property A, 무한한 곳에서의 애매성, 그리고 힐버트 공간으로의 균일 통합성 간의 동치성을 수립한다.
• 균일하게 힐버트 공간으로 통합되는 모든 l.c.s.c. 군에 대해 바움-콘스 애셈블리 맵의 분할 단사성을 일반화한다.
• 국소적으로 컴act 설정에서 Property A와 오자와의 정확성 개념 간의 동치성을 위한 대체적이고 기본적인 증명을 제공한다.
• 균일한 힐버트 공간 임베딩을 컴act 하우스도르프 공간 위의 하아거플 작용의 존재성을 통해 특성화한다.

제안 방법

• 변형군자리 $X \rtimes G$ 위에서 연속적이고, 올바르며, 조건부 음성 유형의 커널을 사용하여 l.c.s.c. 군에 대해 Property A를 정의한다. 이는 이산 공간에 대한 유진의 정의와 유사하다.
• 새로운 Property A와 로우의 유한 기하학적 성질을 가진 일반화된 메트릭 공간에 대한 Property A 간의 동치성을 증명한다.
• Property A와 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 위상적으로 애매한 작용의 존재성 간의 동치성을 수립한다. 이는 히그슨과 로우의 결과를 국소적으로 컴act한 경우로 일반화한다.
• 히그슨의 내림림 기법과 샤페르, 에커호프트, 오요노-오요노의 내림림 함수를 사용하여 바움-콘스 애셈블리 맵의 분할 단사성을 확장한다.
• 주어진 하아거플 작용으로부터 $X \rtimes G$ 위의 연속적이고 올바른 조건부 음성 유형 함수를 구성하고, 그 반대로도 구성함으로써 균일 통합성을 특성화한다.
• 포함관계 $\mathbb{C} \to C(X)$를 사용한 히그슨의 내림림 다이어그램을 적용하여, $X$의 $K$-등가 수축성에 의해 유도되는 $K$-이론의 동형사상들을 통해 바움-콘스 맵이 분할 단사임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 메트릭 공간에 대한 유진의 Property A는 국소적으로 컴act한 군으로 자연스럽게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 l.c.s.c. 군에 대해 Property A는 이산 경우와 마찬가지로 무한한 곳에서의 애매성과 동치인가?
• RQ3 균일하게 힐버트 공간으로 통합되는 모든 l.c.s.c. 군에 대해 바움-콘스 애셈블리 맵의 분할 단사성이 확장될 수 있는가?
• RQ4 l.c.s.c. 군에 대해 균일한 힐버트 공간으로의 통합성은 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 하아거플 작용의 존재성과 동치인가?
• RQ5 유한 기하학적 성질을 가진 일반화된 메트릭 공간에 대해, 로우의 정의와 저자들의 Property A 정의는 동치인가?

주요 결과

• l.c.s.c. 군에 대해 Property A는 무한한 곳에서의 애매성과 동치이며, 이는 히그슨과 로우의 이산 경우 결과를 국소적으로 컴act한 설정으로 일반화한다.
• 국소적으로 컴act 군이 Property A를 가질 조건은 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 위상적으로 애매한 작용을 갖는 것과 동치이다.
• 모든 국소적으로 컴act 군이 Property A를 가진다면, 그것들은 균일하게 힐버트 공간으로 통합되며, 이는 유진의 결과를 국소적으로 컴act한 경우로 확장한다.
• 균일한 힐버트 공간으로의 통합성은 컴 pact 하우스도르프 공간 위의 하아거플 작용의 존재성과 동치이다.
• 균일하게 힐버트 공간으로 통합되는 모든 l.c.s.c. 군에 대해 바움-콘스 애셈블리 맵의 계수를 가진 분할 단사성이 성립한다.
• 분할 단사성의 증명은 히그슨의 내림림과 내림림 함수를 사용하며, 핵심 단계는 상태 공간 $X = \text{Prob}(Y)$의 $K$-등가 수축성으로, 이는 $K$-이론에서 동형사상을 유도한다.