[논문 리뷰] PROPs for Linear Systems

Simon Wadsley, Nick Woods|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가환 릭 R에 대한 행렬의 PROP Mat(R)이 R에서의 고정된 릭 준동형사상과 함께 이중가환 이중모나드를 분류하는 유일한 범주임을 증명한다. R를 다양하게 변화시킴으로써 핵심적인 프롭을 특성화한다: FinSpan(이중가환 이중모나드), FinRel(특수 이중가환 이중모나드), Mat(ℤ)(이중가환 호프 모나드)로서, Baez와 Erbele의 신호 흐름도에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

A PROP is a symmetric monoidal category whose objects are the nonnegative integers and whose tensor product on objects is addition. A morphism from $m$ to $n$ in a PROP can be visualized as a string diagram with $m$ input wires and $n$ output wires. For a field $k$, the PROP $\mathrm{FinVect}_k$ where morphisms are $k$-linear maps is used by Baez and Erbele to study signal-flow diagrams. We aim to generalize their result characterizing this PROP in terms of generators and relations by looking at the PROP $\mathrm{Mat}(R)$ of matrices of values in $R$, where $R$ is a commutative rig (that is, a generalization of a ring where the condition that each element has an additive inverse is relaxed). To this end, we show that the category of symmetric monoidal functors out of $\mathrm{Mat}(R)$ is equivalent to the category of bicommutative bimonoids equipped with a certain map of rigs; such functors are called algebras. By choosing $R$ correctly, we will see that the algebras of the PROP $\mathrm{FinSpan}$ of finite sets and spans between them are bicommutative bimonoids, while the algebras of the PROP $\mathrm{FinRel}$ of finite sets and relations between them are special bicommuative bimonoids and the algebras of $\mathrm{Mat}(\mathbb Z)$ are bicommutative Hopf monoids.

연구 동기 및 목표

• 신호 흐름도의 생성자와 관계에 기반한 Baez와 Erbele의 특성화를, 프롭을 사용한 더 넓은 대수적 프레임워크로 일반화하기 위해.
• 다양한 대수적 릭(예: ℕ, ℤ, ℬ) 위의 선형 시스템의 범주적 구조를 단일 프레임워크인 행렬 범주를 통해 통합하기 위해.
• Mat(R)에서의 대칭 모나드 함자 범주가 이중가환 이중모나드와 그 내부 고정된 릭 준동형사상 R → End(A)를 지닌 A에 대한 범주와 동치임을 보여주기 위해.
• 생성자-관계 표현에 비해 더 효율적인 방법을 제공하기 위해 Mat(R)에서의 함자에 초점을 맞춰 선형 시스템의 프롭을 통일적으로 특성화하기 위해.

제안 방법

• 가환 릭 R의 원소를 성분으로 가지는 n×m 행렬로 구성된 사상들을 갖는 프롭 Mat(R)을 정의하며, 합성은 행렬 곱셈이고 텐서곱은 블록 합으로 정의한다.
• 대칭 모나드 함자 Mat(R) → C와 범주 C 내의 이중가환 이중모나드 A 및 이중모나드 A에 대한 릭 준동형사상 R → End(A) 사이의 동치를 사용한다.
• 특정 릭에 대해 이 동치를 적용한다: ℕ는 FinSpan에 대해, ℬ는 FinRel에 대해, ℤ는 Mat(ℤ)에 대해, 이에 따라 대응하는 대수적 구조를 식별한다.
• 이중가환 이중모나드에서 곱셈과 공배열의 분배 법칙을 활용하여 공리적 특성화를 도출한다.
• 호프 모나드의 역원 연산자를 사용하여 Mat(ℤ)가 -1의 이미지가 역원 연산자로 가는 릭 준동형사상을 통해 이중가환 호프 모나드를 분류함을 보여준다.
• 특수 이중모나드의 공리(μ∘Δ = id)가 끝점 릭에서 a+a=a 관계에 해당하며, 이는 R=ℬ일 때 성립함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환 릭 R에 대해 프롭 Mat(R)이 분류하는 유일한 대수적 구조는 무엇인가요?
• RQ2 R를 ℕ, ℬ, 또는 ℤ와 같이 변화시킬 때, 이는 이중모나드의 다양한 클래스(예: 특수, 호프)를 어떻게 도출하는가요?
• RQ3 생성자와 관계에 기반한 신호 흐름도의 특성화는 대신 대칭 모나드 함자에 기반한 더 효율적인 접근 방식으로 대체될 수 있는가요?
• RQ4 R → End(A)의 릭 준동형사상이 Mat(R) 위의 대수를 분류하는 데 어떤 역할을 하는가요?
• RQ5 FinSpan, FinRel, Mat(ℤ)의 프롭은 R의 다른 선택에 의해 Mat(R)의 특수한 경우로 어떻게 유도되는가요?

주요 결과

• Mat(R)는 끝점 릭 준동형사상 R → End(A)를 지닌 이중가환 이중모나드 A를 분류하는 프롭으로서, 유일성 특성화를 확립한다.
• FinSpan은 이중가환 이중모나드의 프롭으로서, Mat(ℕ)이 초기 릭 ℕ를 통해 이러한 구조를 분류함으로써 성립한다.
• FinRel은 특수 이중가환 이중모나드의 프롭으로서, 릭 ℬ가 모든 끝점 끝점에서 a+a=a를 강제하는 Mat(ℬ)에 해당한다.
• Mat(ℤ)는 이중가환 호프 모나드의 프롭으로서, -1의 이미지가 역원 연산자로 가는 릭 준동형사상에 의해 유도된다.
• 이 방법은 생성자-관계 표현에 비해 더 효율적인 대체 방법을 제공하며, k=ℝ(s)에 대해 Mat(k)의 경우에서 Baez와 Erbele의 결과를 일반화함으로써 이를 입증한다.
• 대칭 모나드 함자 Mat(R) → C와 R-구조가 부여된 이중가환 이중모나드 사이의 동치는 관련된 구조의 프롭을 직접 비교할 수 있게 한다.