[논문 리뷰] Pseudo-randomness and Learning in Quantum Computation

Richard A. Low|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 97인용 수 10

한 줄 요약

이 학위논문은 랜덤 양자 회로를 사용하여 양자 $k$-디자인의 효율적인 구성법을 제안하며, 이들이 2-디자인으로 빠르게 수렴함을 증명하고 $k = O(n / \log n)$에 대해 $k$-디자인을 가능하게 한다. 이는 $k$-디자인이 양자 알고리즘의 랜덤성 제거에 활용 가능하고, 대규모 편차 한계를 확장할 수 있음을 보여주며, 클리포드 군에 대한 최적의 학습 및 테스트 프로토콜을 제공한다. 또한 $k$-디자인이 다항식 $k$에 대해 하르 측도를 모방함을 보이며, 감소된 랜덤성으로 효율적인 양자 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This thesis discusses the young fields of quantum pseudo-randomness and quantum learning algorithms. We present techniques for derandomising algorithms to decrease randomness resource requirements and improve efficiency. One key object in doing this is a k-design, which is a distribution on the unitary group whose kth moments match those of the unitarily invariant Haar measure. We show that for a natural model of a random quantum circuit, the distribution of random circuits quickly converges to a 2-design. We then present an efficient unitary k-design construction for any k, provided the number of qubits n satisfies k = O(n/log n). In doing this, we provide an efficient construction of a quantum tensor product expander, which is a generalisation of a quantum expander which in turn generalises classical expanders. We then discuss applications of k-designs. We show that they can be used to improve the efficiency of many existing algorithms and protocols and also find new applications to derandomising large deviation bounds. In particular, we show that many large deviation bound results for Haar random unitaries carry over to k-designs for k = poly(n). In the second part of the thesis, we present some learning and testing algorithms for the Clifford group. We find an optimal algorithm for identifying an unknown Clifford operation. We also give an algorithm to test if an unknown operation is close to a Clifford or far from every Clifford.

연구 동기 및 목표

• 양자 알고리즘에서의 랜덤성 감소를 위해 효율적인 양자 $k$-디자인의 구성법을 개발하는 것.
• 랜덤 양자 회로가 2-디자인으로 빠르게 수렴함을 증명하여 실용적인 랜덤성 제거를 가능하게 하는 것.
• 다항식 $k = \operatorname{poly}(n)$에 대해 $k$-디자인이 하르 측도의 농도 및 대규모 편차 성질을 모방함을 보여, $k$-디자인의 적용 범위를 대규모 편차 한계 및 통계역학으로 확장하는 것.
• 클리포드 군에 대한 최적의 학습 및 테스트 알고리즘을 설계하여 클리포드 연산의 효율적 식별 및 검증을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 양자 확산자에 대한 일반화로서 효율적 $k$-디자인 생성을 가능하게 하는 양자 텐서 곱 확산자(QTPE)를 구성한다.
• 국소 게이트를 갖는 랜덤 양자 회로를 사용하여 $O(n^2)$ 깊이 내에 2-디자인으로 수렴함을 입증하며, 모멘트 매칭 및 마코프 체인 분석을 활용한다.
• 로그-소볼레프 부등식과 스펙트럼 갭 분석을 적용하여 혼합 시간을 바ounds하고 $k$-디자인에 대한 수렴을 증명한다.
• 파울리 군 분해와 유니타리 불변성을 활용하여 유니타리 간 거리와 그들의 파울리 연산자에 대한 공액화 거리 간의 관계를 규명한다.
• 측도 집중 및 모멘트 바ounds를 활용하여 $k = \operatorname{poly}(n)$일 때 $k$-디자인이 하르 측도와 유사한 대규모 편차 한계를 만족함을 보여준다.
• 파울리 공액화와 거리 최소화를 기반으로 하는 재귀적 학습 알고리즘을 개발하며, $\ell^2$-노름 집중을 통해 오차 한계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로가 $k = O(n / \log n)$에 대해 효율적으로 $k$-디자인을 생성할 수 있으며, 수렴 속도는 얼마나 빠른가?
• RQ2 다항식 $k = \operatorname{poly}(n)$일 때 $k$-디자인이 하르 측도의 농도 및 대규모 편차 성질을 어느 정도 유사하게 갖는가?
• RQ3 $k$-디자인을 사용하여 디커플링, 상태 준비, 측정 기반 양자 계산과 같은 양자 프로토콜의 랜덤성 제거가 가능한가?
• RQ4 알 수 없는 클리포드 연산을 학습하거나 테스트하기 위해 필요한 최적의 쿼리 수는 얼마인가?
• RQ5 유니타리 거리 측도를 파울리 공액화 거리와 어떻게 연결하여 효율적 학습 및 테스트를 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 깊이 $O(n^2)$인 랜덤 양자 회로는 2-디자인으로 수렴하며, 이는 양자 알고리즘의 효율적 랜덤성 제거를 가능하게 한다.
• 혼합 시간이 유계인 양자 텐서 곱 확산자를 사용하여 $k = O(n / \log n)$에 대해 효율적인 유니타리 $k$-디자인 구성법을 확립한다.
• 다항식 $k = \operatorname{poly}(n)$일 때 $k$-디자인은 하르 측도와 동일한 대규모 편차 한계를 만족하며, 측도 집중에 의존하는 프로토콜의 랜덤성 제거를 가능하게 한다.
• $k$-디자인의 엔트로피가 하르 값 주변에 집중되며, 편차가 $O(1/k)$ 이내로 제한됨을 보여, 큰 $k$에 대해 거의 최대 엔트로피임을 시사한다.
• 알 수 없는 클리포드 연산을 학습하기 위한 최적 알고리즘은 $O(n^2)$개의 쿼리가 필요하며, 이는 정보 이론적 하한과 일치한다.
• 클리포드 테스팅 알고리즘은 $O(n^2)$개의 쿼리와 $k$-디자인 기법을 사용하여 알려지지 않은 유니타리가 클리포드에 가까운지 또는 모든 클리포드에서 멀리 떨어진지를 높은 확률로 구분할 수 있다.