[논문 리뷰] Pseudo-real principal Higgs bundles on compact Kaehler manifolds

Indranil Biswas, Oscar Garcı́a-Prada외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반만곡형 복소다양체 위에 항복호모로피즘을 지닌 컴팩트 카흐러 다양체 위에 의사-실수 주기하 구조를 가진 히긴스 복합체를 도입하여, 실수 대수기하학의 주기하 복합체를 복소기하학으로 일반화한다. 이는 다운슨–울렌벡–유하인 대응을 수립한다: 의사-실수 주기지 G-_bundle는 에인슈타인–헤르미트 연결을 가질 조건은 그 것이 다중안정적일 때이며, 다중안정적 의사-실수 복합체(유리 특성류가 0인 경우)와 G의 σG-불변 최대 컴act 부분군 내의 외부 fundamental group의 왜곡된 표현 사이의 일대일 대응을 증명한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected Kähler manifold equipped with an anti-holomorphic involution which is compatible with the Kähler structure. Let $G$ be a connected complex reductive affine algebraic group equipped with a real form $σ_G$. We define pseudo-real principal $G$--bundles on $X$; these are generalizations of real algebraic principal $G$--bundles over a real algebraic variety. Next we define stable, semistable and polystable pseudo-real principal $G$--bundles. Their relationships with the usual stable, semistable and polystable principal $G$--bundles are investigated. We then prove that the following Donaldson--Uhlenbeck--Yau type correspondence holds: a pseudo-real principal $G$--bundle admits a compatible Einstein-Hermitian connection if and only if it is polystable. A bijection between the following two sets is established: 1) The isomorphism classes of polystable pseudo-real principal $G$--bundles such that all the rational characteristic classes of the underlying topological principal $G$--bundle vanish. 2) The equivalence classes of twisted representations of the extended fundamental group of $X$ in a $σ_G$--invariant maximal compact subgroup of $G$. (The twisted representations are defined using the central element in the definition of a pseudo-real principal $G$--bundle.) All these results are also generalized to the pseudo-real Higgs $G$--bundle.

연구 동기 및 목표

• 항복호모로피즘을 지닌 컴팩트 카흐러 다양체 위에 의사-실수 주기지 G-복합체를 도입함으로써 실수 대수기하학의 주기지 복합체 개념을 복소기하학으로 일반화한다.
• 의사-실수 주기지 G-복합체에 대해 안정성 조건(안정, 반안정, 다중안정)을 정의하고, 복소기하학의 표준 안정성 개념과 연관지킨다.
• 다운슨–울렌벡–유하인 유형의 대응을 수립한다: 의사-실수 주기지 G-복합체는 에인슈타인–헤르미트 연결을 가질 수 있을 조건은 다중안정적일 때이다.
• 유리 특성류가 모두 0인 다중안정적 의사-실수 주기지 G-복합체의 이sov모르피즘 유형과 G의 σG-불변 최대 컴팩트 부분군 내의 외부 fundamental group의 왜곡된 표현의 동치류 사이에 자연스러운 일대일 대응을 구축한다.
• 모든 결과를 히긴스 복합체 설정으로 확장하여 의사-실수 히긴스 G-복합체에 대해 유사한 대응관계와 표현론적 일대일 대응을 증명한다.

제안 방법

• 주기지 G-복합체의 중심에 속하는 원소 c를 사용하여, G의 실형식 σG와 호환되는 의사-실수 주기지 G-복합체를 정의한다.
• 항복호모로피즘 σG와 중심 원소 c를 이용하여, K̃G = KG ⋊ ℤ/2ℤ의 반직접곱으로부터 외부 fundamental group Γ(X, x₀)의 왜곡된 표현을 정의한다.
• 완전 가역적 왜곡된 표현으로부터 유도된 평탄한 연결 D = ∇ + θ + θ*를 주기지 G-복합체 위에 구성하며, 이때 유리 특성류가 0이 되도록 보장한다.
• 조화 감소 이론(Corlette의 정리)을 사용하여, 조화 감소 EKG ⊂ EG가 의사-실수 구조 ρ에 관해 불변이 되도록 선택할 수 있음을 보인다.
• 완전 가역적 단일화된 모노드로미를 가진 평탄한 연결 D를 이용하여 의사-실수 히긴스 G-복합체 (EG, ρ, θ)를 구성하며, 이때 침묵적 변환과 히긴스 장에 대한 호환성을 확보한다.
• 유도된 히긴스 복합체가 다중안정적임을 증명하고, 왜곡된 표현과 다중안정적 의사-실수 히긴스 G-복합체 사이의 대응관계가 일대일임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 카흐러 다양체 위의 의사-실수 주기지 G-복합체는 다중안정적일 때에만 호환 가능한 에인슈타인–헤르미트 연결을 가질 수 있는가?
• RQ2 유리 특성류가 모두 0인 다중안정적 의사-실수 주기지 G-복합체의 이sov모르피즘 유형과 G의 σG-불변 최대 컴팩트 부분군 내의 외부 fundamental group의 왜곡된 표현의 동치류 사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ3 다운슨–울렌벡–유하인 대응은 의사-실수 히긴스 G-복합체 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 히긴스 장이 의사-실수 주기지 G-복합체의 안정성과 감소 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 주기지 G-복합체 위의 평탄한 연결이 조화 감소와 호환되는 의사-실수 구조로 올라갈 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 의사-실수 주기지 G-복합체는 다중안정적일 때에만 호환 가능한 에인슈타인–헤르미트 연결을 가질 수 있으며, 이는 다운슨–울렌벡–유하인 유형의 대응관계를 수립한다.
• 유리 특성류의 모든 양의 차수에서 0인 다중안정적 의사-실수 주기지 G-복합체의 이sov모르피즘 유형과 G의 σG-불변 최대 컴팩트 부분군 내의 외부 fundamental group의 왜곡된 표현의 동치류 사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.
• 이 대응관계는 주기지 G-복합체 위의 평탄한 연결 D = ∇ + θ + θ*의 모노드로미를 통해 구성되며, 이 D는 완전 가역적 왜곡된 표현으로부터 유도된다.
• 의사-실수 히긴스 G-복합체의 경우에도 동일한 대응관계가 성립한다: 유리 특성류가 0인 다중안정적 히긴스 복합체는 완전 가역적 모노드로미를 가진 왜곡된 표현과 일대일 대응된다.
• 조화 감소 EKG ⊂ EG는 의사-실수 구조 ρ에 관해 불변으로 선택할 수 있으며, 이는 에인슈타인–헤르미트 조건과의 호환성을 보장한다.
• 히긴스 장 θ와 그 쌍대장 θ*는 체른 연결 ∇와 함께 평탄한 연결 D를 이룬다. 이 연결의 모노드로미는 완전 가역적이며, 왜곡된 표현을 유도한다.