[논문 리뷰] Pull-back of currents by meromorphic maps

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 콪 pact Kähler 다양체 위에서 주어진 dominant meromorphic 사상 하에서 유한 차수의 $(p,p)$-현재에 대해 잘 정의된 pullback 연산자 $f^{ atural}$를 제안한다. 이는 DSH 현재의 정규화와 매끄러운 근사에 의한 약한 극한을 통해 이루어지며, 핵심 기여는 이전 정의를 확장하고, 양의 성질이 유지되지 않을 경우에도 불변 현재의 연구가 가능하도록 하는 일관되고 코homologically 호환되는 pullback를 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be compact Kähler manifolds, and let $f:X ightarrow Y$ be a dominant meromorphic map. Base upon a regularization theorem of Dinh and Sibony for DSH currents, we define a pullback operator $f^{\sharp}$ for currents of bidegrees $(p,p)$ of finite order on $Y$ (and thus for {\it any} current, since $Y$ is compact). This operator has good properties as may be expected. Our definition and results are compatible to those of various previous works of Meo, Russakovskii and Shiffman, Alessandrini and Bassanelli, Dinh and Sibony, and can be readily extended to the case of meromorphic correspondences. We give an example of a meromorphic map $f$ and two nonzero positive closed currents $T_1,T_2$ for which $f^{\sharp}(T_1)=-T_2$. We use Siu's decomposition to help further study on pulling back positive closed currents. Many applications on finding invariant currents are given.

연구 동기 및 목표

• 콤���t Kähler 다양체 위에서 dominant meromorphic 사상 하에서 유한 차수의 $(p,p)$-현재에 대해 일관된 pullback 연산자를 정의한다.
• 매끄럽고, 양의 폐쇄형, DSH 현재에 대한 기존의 pullback 정의와의 호환성을 확보한다.
• pullback을 meromorphic correspondence로 확장하고, 반복에 의한 현재의 불변성을 연구한다.
• 양의 현재의 pullback이 일반적으로 양의 성질을 유지하지 않을 수 있는 경우, 특히 높은 bidegree에서의 경우를 조사한다.
• Siu의 분해와 동역학 시스템 기법을 활용하여 불변 현재를 구성하기 위해 이론을 적용한다.

제안 방법

• 매끄러운 테스트 형식 $\alpha$에 대해 $\int_X f^{ atural}(T) \wedge \alpha = \lim_{n\to\infty} \int_Y T \wedge K_n(f_*(\alpha))$ 라는 쌍대성 항등식을 사용한다. 여기서 $K_n$은 $f_*(\alpha)$의 정규화이다.
• Dinh와 Sibony의 정규화 정리에 따라, DSH 현재인 $f_*(\alpha)$를 $C^s$ 형식 $K_n(f_*(\alpha))$로 근사한다.
• 현재 $T$의 매끄러운 근사 $T_n$에 대해 $f^*(T_n)$의 약한 극한을 통해 $f^{ atural}(T)$를 정의함으로써, 수열 간 일관성을 확보한다.
• 양의 현재의 컴팩턴스와 DSH 노름을 활용하여 수렴을 제어하고 일반 현재에 대해 pullback을 정의한다.
• Siu의 분해를 활용하여, 양의 폐쇄형인 현재의 특이부와 해석적 부분을 분리함으로써 pullback 분석을 수행한다.
• 약한 극한을 통한 확률 측도의 평균화된 pullback의 구성 방식을 활용하여, 동역학 시스템에 pullback을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 dominant meromorphic 사상 하에서, 양의 성질이 유지되지 않을 경우에도 $(p,p)$-현재에 대해 일관된 pullback 연산자를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 pullback 연산자가 매끄럽고, 양의 폐쇄형, DSH 현재에 대해 기존 정의와 일치하는가?
• RQ3 meromorphic 사상 하에서 양의 폐쇄형인 현재의 pullback이 여전히 양의 성질을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 pullback은 meromorphic correspondence로 확장될 수 있으며, 이를 통해 불변 현재를 구성할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 Kähler 다양체에서, $(f^n)^{ atural} = (f^{ atural})^n$ 형태의 대수적 안정성 성질이 성립하는가?

주요 결과

• 정규화와 약한 극한을 통해, 콤팩트 Kähler 다양체 위의 모든 유한 차수의 $(p,p)$-현재에 대해 pullback 연산자 $f^{ atural}$가 잘 정의된다.
• 이 연산자는 매끄러운 형식에 대한 표준 pullback과, 양의 폐쇄형 및 DSH 현재에 대한 이전 구성과 호환된다.
• 예를 들어, $f^{ atural}(T_1) = -T_2$ 를 만족하는 비영인 양의 폐쇄형인 현재 $T_1, T_2$ 가 존재함을 구성함으로써, 일반적으로 양의 성질이 유지되지 않음을 보였다.
• Siu의 분해를 활용하여, 해석적 부분과 특이 부분을 분리함으로써 일반 양의 폐쇄형인 현재의 pullback 분석을 위한 기준을 제공하였다.
• pullback은 현재의 코homology 클래스를 유지하므로, 코homological dynamics와의 호환성이 보장된다.
• 역전치 $J_X$에 대해 $(J_X^{ atural})^2 = \mathrm{id}$ 가 $(2,2)$-현재에서 성립하며, $J_X$는 $2$-대수적 안정성을 가진다.