[논문 리뷰] Pure Spinors and D=6 Super-Yang-Mills

Martin Cederwall, B.E.W. Nilsson|ArXiv.org|2008. 01. 09.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 순수 스핀어 조건을 일반화하기 위해 추가적인 보존적 $SU(2)$ 삼중항 변수를 도입함으로써 순수 스핀어 cohomology를 $D=6$ $N=1$ 초양-미스 이론으로 확장한다. 표준 $Q$-연산자의 cohomology 위에 작용하는 새로운 BRST 연산자 $s$를 구성하며, 이의 cohomology는 운동 방정식을 강제함으로써 비최대 초대칭 이론에 대해 체계적인 비온-쉘 공식화를 제공한다. 일반화된 순수 스핀어 기법을 사용한다.

ABSTRACT

Pure spinor cohomology has been used to describe maximally supersymmetric theories, like D=10 super-Yang-Mills and D=11 supergravity. Supersymmetry closes on-shell in such theories, and the fields in the cohomology automatically satisfy the equations of motion. In this paper, we investigate the corresponding structure in a model with off-shell supersymmetry, N=1 super-Yang-Mills theory in D=6. Here, fields and antifields are obtained as cohomologies in different complexes with respect to the BRST operator Q. It turns out to be natural to enlarge the pure spinor space with additional bosonic variables, subject to some constraints generalising the pure spinor condition, in order to accommodate the different supermultiplets in the same generalised pure spinor wave-function. We construct another BRST operator, s, acting in the cohomology of Q, whose cohomology implies the equations of motion. We comment on the possible use of similar approaches in other models.

연구 동기 및 목표

• 순수 스핀어 cohomology를 사용하여 $D=6$ $N=1$ 초양-미스 이론의 비온-쉘 공식화를 개발하는 것. 이는 전통적으로 최대 초대칭 이론에만 적용된다.
• 최대 초대칭보다 적은 초대칭을 가진 이론에서 운동 방정식을 강제하는 일관된 BRST 연산자 $s$를 구성하는 데 도전하는 것.
• 표준 순수 스핀어 조건을 일반화하기 위해 추가적인 보존적 변수 $c_i$를 도입함으로써 순수 스핀어 공간을 일반화하는 것.
• $D=6$에서 필드, 반필드, 고리, 반고리 등을 하나의 일반화된 순수 스핀어 파동함수 안에 통합적으로 묘사할 수 있도록 하는 것.
• 이 형식이 $D=10$ 초중력이나 헤테로지식 초중력과 같은 다른 비최대 초대칭 이론에 적용 가능한지 탐색하는 것.

제안 방법

• 추가적인 보존적 $SU(2)$ 삼중항 변수 $c_i$를 도입하여 표준 순수 스핀어 조건을 확장한 일반화된 순수 스핀어 공간을 도입한다.
• 일반화된 제약 조건 정의: $T^a = (ar heta ilde heta heta heta) = 0$, $t^eta = c_i ( heta e_i)^eta = 0$, 및 $\tau = c_i c_i = 0$, 이는 순수 스핀어 조건을 일반화한다.
• 이 일반화된 공간에서 스칼라 초장수 $\Psi$ 위에 작용하는 표준 BRST 연산자 $Q = \lambda^\alpha D_\alpha$를 정의한다.
• 새로운 BRST 연산자 $s$를 정의하며, 이는 오직 $Q$-cohomology 위에만 작용하며, $Q$-닫힘 상태에서 $s^2 = 0$을 만족하도록 보장한다.
• 스핀어의 반대칭 텐서곱과 $D$-미분의 구조를 사용하여 $s$의 명시적 형태를 유도하며, 이는 $f(n)$ 및 $g(n)$ 계수를 포함한다.
• $Q$-cohomology를 사용하여 초장수를 분류하고, $s$-cohomology가 온-쉘 동역학에 해당함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 스핀어 형식은 $D=6$ $N=1$ 초양-미스 이론과 같이 최대 초대칭이 아닌 이론으로도 확장될 수 있는가?
• RQ2 여러 초대칭 메시브를 하나의 파동함수에 수용하기 위해 순수 스핀어 조건을 일반화하기 위해 추가적인 보존적 변수를 어떻게 도입할 수 있는가?
• RQ3 운동 방정식이 $Q$-cohomology 내에서 강제되는 BRST 연산자 $s$를 정의하는 것은 가능한가?
• RQ4 부분적으로 비온-쉘 메시브를 가진 이론들, 예를 들어 $D=10$ 초중력이나 헤테로지식 초중력에 이 형식을 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법은 $D=11$ 초중력에서 다양한 초공간 형식(예: $C$-장 및 비엘베인 복합체)을 통합적으로 묘사할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 순수 스핀어 제약 조건 $T^a = 0$, $t^\beta = 0$, 및 $\tau = 0$은 추가적인 $c_i$ 변수를 통해 순수 스핀어 형식을 $D=6$ $N=1$ SYM로 성공적으로 확장한다.
• 일반화된 공간에서 $Q = \lambda^\alpha D_\alpha$의 cohomology는 필드, 반필드, 고리, 반고리 등을 하나의 초장수 구조 안에 자연스럽게 포함한다.
• 새로운 BRST 연산자 $s$가 구성되었으며, 이는 오직 $Q$-cohomology 위에만 작용하고 $Q$-닫힘 상태에서 $s^2 = 0$을 만족한다.
• $s$의 명시적 형태는 $s = \frac{3k}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} Q c_i (w \gamma^a w) (D \gamma_a D e_i) - \frac{2k}{(n+2)(n+3)(n+4)} c_i (w D^3_i) + \frac{8k}{(n+2)(n+3)} c_i (w \gamma^a D e_i) \partial_a$ 로 유도되었으며, 이는 $f(n)$ 및 $g(n)$ 계수들이 특정 재귀 관계를 만족한다.
• $s$의 첫 번째 항은 게이지 조건 $ (w \gamma^a w) \Psi = 0 $ 덕분에 $Q$-cohomology에서 사라지며, 나머지 항들에 의해 본질적인 동역학이 암시된다.
• 이 형식은 $D=6$ $N=1$ SYM에 대한 BV 작용을 구성하는 데로 이르는 길을 시사하지만, $s$가 전체 공간에서 비자명하므로 수정된 장 방정식 $Q\Psi + \Psi^2 = 0$ 이 필요하다.