[논문 리뷰] q-means: A quantum algorithm for unsupervised machine learning

Iordanis Kerenidis, Jonas Landman외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 21인용 수 116

한 줄 요약

q-means는 delta-k-means를 모방하는 양자 클러스터링 알고리즘으로, 중심점들을 높은 확률로 출력하고, N에 대해 부분선형 의존성을 달성하며, QRAM 가정하에 런타임이 N에 대해 polylogarithmic, d에 대해 선형, k에 대해 다항식으로 의존한다.

ABSTRACT

Quantum machine learning is one of the most promising applications of a full-scale quantum computer. Over the past few years, many quantum machine learning algorithms have been proposed that can potentially offer considerable speedups over the corresponding classical algorithms. In this paper, we introduce q-means, a new quantum algorithm for clustering which is a canonical problem in unsupervised machine learning. The $q$-means algorithm has convergence and precision guarantees similar to $k$-means, and it outputs with high probability a good approximation of the $k$ cluster centroids like the classical algorithm. Given a dataset of $N$ $d$-dimensional vectors $v_i$ (seen as a matrix $V \in \mathbb{R}^{N imes d})$ stored in QRAM, the running time of q-means is $\widetilde{O}\left( k d \fracη{δ^2}κ(V)(μ(V) + k \fracηδ) + k^2 \frac{η^{1.5}}{δ^2} κ(V)μ(V) ight)$ per iteration, where $κ(V)$ is the condition number, $μ(V)$ is a parameter that appears in quantum linear algebra procedures and $η= \max_{i} ||v_{i}||^{2}$. For a natural notion of well-clusterable datasets, the running time becomes $\widetilde{O}\left( k^2 d \frac{η^{2.5}}{δ^3} + k^{2.5} \frac{η^2}{δ^3} ight)$ per iteration, which is linear in the number of features $d$, and polynomial in the rank $k$, the maximum square norm $η$ and the error parameter $δ$. Both running times are only polylogarithmic in the number of datapoints $N$. Our algorithm provides substantial savings compared to the classical $k$-means algorithm that runs in time $O(kdN)$ per iteration, particularly for the case of large datasets.

연구 동기 및 목표

• 클러스터링을 핵심적인 비지도 학습 문제로 동기 부여하고 대규모 데이터셋의 확장성 문제를 다룬다.
• 수렴성과 근사 보장을 보존하는 k-means의 양자 아날로그(delta-k-means)를 개발한다.
• 데이터 포인트 수 N에 대한 polylogarithmic 의존성과 특징 차원 d에 대한 선형 의존성을 보이는 런타임 분석을 제공한다.
• 알고리즘이 이후의 고전적 또는 양자 작업에 사용할 수 있는 고전적 중심점을 출력하도록 보장한다.

제안 방법

• QRAM에 저장된 R^d의 N 벡터를 클러스터링하기 위한 delta-k-means의 양자 대응으로 q-means를 정의한다.
• 거리 추정, 최소값 선택, 행렬 곱셈, 토모그래피와 같은 양자 서브루틴을 사용하여 중심점을 업데이트한다.
• 각 반복에 대한 런타임 상한을 k, d, η(최대 행 노름), δ(강건성 매개변수), κ(V)(조건수), μ(V)(양자 선형 대수 절차에서의 값)에 의존하도록 제공한다.
• 신뢰할 수 있는 거리 추정을 얻기 위해 진폭 추정과 중앙값 기반 증폭을 활용한다.
• 알고리즘 중에 생성된 양자 상태로부터 고전적 중심 벡터를 복원하기 위해 벡터 상태 토모그래피를 적용한다.
• q-means가 높은 확률로 delta-k-means와 일관된 중심점을 출력함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q-means가 양자 설정에서 고전적 delta-k-means의 동작 및 보장을 재현할 수 있는가?
• RQ2 데이터세트 매개변수(N, d, k, η, δ, κ(V), μ(V))에 대해 q-means의 각 반복 및 전체 런타임 요구사항은 무엇인가?
• RQ3 잘 군집가능한 데이터 모델이 q-means의 이론적 보장과 실행 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 생성된 중심점이 다운스트림 작업에 고전적 객체로 사용 가능하며, 고전적 k-means와의 정확도 비교는 어떠한가?

주요 결과

• 일반 데이터에 대한 각 반복 런타임: ~O~(kd η/(δ^2) κ(V)(μ(V)+k η/δ) + k^2 η^1.5/δ^2 κ(V) μ(V)).
• 잘 클러스터 가능 데이터에서의 각 반복 런타임: ~O~(k^2 d η^2.5/δ^3 + k^2.5 η^2/δ^3).
• 런타임은 N에 대해 polylogarithmic이고 d에 대해 선형이며, k, η, 및 1/δ에 대해 다항식 의존성을 가진다.
• 알고리즘은 높은 확률로 delta-k-means 해에 해당하는 고전적 중심점을 출력한다.
• QRAM 데이터 구조와 양자 선형 대수 서브루틴을 사용하여 반복당 고전적 kdN 한계를 능가하도록 속도향상을 달성한다.
• 시뮬레이션은 q-means가 큰 데이터셋에 대해 k-means와 유사한 정확도 또는 더 빠른 런타임을 달성할 수 있음을 시사한다.