[논문 리뷰] Quadratic Binomial APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials

Eimear Byrne, Gary McGuire|ArXiv.org|2008. 10. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 2인 유한체 위에서 이차 이항함수의 거의 완전 비선형성(APN) 성질을 대수기하학과 Weil 추정을 활용하여 조사한다. 이를 통해 많은 이차 이항함수들이 무한히 많은 확장체에서 APN이 아니라는 것을 보인다. 주요 기여는 관련 다항식의 절대 기약성에 기반한 기준으로, 특정 수론적 조건과 기약성 조건이 만족될 경우, 특정 이차 이항함수의 무한한 수의 확장체에서 APN이 아님을 증명한다.

ABSTRACT

We show that many quadratic binomial functions on a finite field of characteristic 2 are not APN infinitely often. This is of interest in the light of recent discoveries of new families of quadratic binomial APN functions. The proof uses the Weil bound from algebraic geometry.

연구 동기 및 목표

• 이차 이항함수 $ cx^{2^i+2^j} + dx^{2^u+2^v} $ 가 $ GF(2^m) $ 의 어떤 무한한 확장체에서 APN이 아니게 되는 조건을 규명하는 것.
• 기존의 APN 함수 연구를 확장하여, 고전적인 Gold 유형 $ 2^j + 1 $ 이외의 더 일반적인 이차 지수 $ 2^j + 2^k $ 를 분석하는 것.
• 특히 Weil 추정과 절대 기약 다항식의 성질을 활용한 대수기하학 도구를 적용하여 비APN 행동을 규명하는 것.
• 관련 동차 다항식의 기약성에 기반하여, 이론적 프레임워크를 제공하여 무한한 수의 이차 이항함수 가족이 APN이 아니게 되는 것을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자는 함수 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 에서 유도된 동차 다항식 $ H(x,y) $ 를 정의하여, 함수의 미분적 성질을 캡처한다.
• Weil 추정을 활용하여 $ f $ 의 미분 균일성과 관련된 방정식의 해의 개수를 추정한다.
• 증명은 주로 $ H(x,y) $ 의 특이점, 특히 $ [1:0:0] $ 과 $ [1:a:0] $ 과 같은 특이점의 다중성을 분석하여, 유한체 확장 위에서의 가능한 인수분해를 제약한다.
• Galois 이론적 접근과 중국인의 나머지 정리를 활용하여 $ GF(q^n) $ 에서의 $ H(x,y) $ 의 인수분해를 연구하고, 비자명한 인수분해가 일어날 경우 $ n $ 이 지수와 관련된 특정 정수들을 나누어야 함을 보여준다.
• 만약 $ H(x,y) $ 가 $ K = GF(2^m) $ 에서 절대 기약이라면, 그리고 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ 이거나 $ (t-i, s) = 1 $ 이면, $ f $ 는 무한히 많은 수의 확장체에서 APN이 아니라는 것을 증명한다.
• 이 방법은 이원 다항식의 기약성 테스트로 환원하고, 다중성 제약 조건에 관한 레미마 5 등의 대수기하학 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 이항함수 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 가 $ GF(2^m) $ 의 어떤 무한한 확장체에서 APN이 아니게 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 관련 다항식 $ H(x,y) $ 의 절대 기약성은 $ f $ 의 APN 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 수론적 조건인 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ 또는 $ (t-i, s) = 1 $ 을 활용하여 무한한 수의 APN 함수 가족을 배제할 수 있는가?
• RQ4 다중성이 $ 2^s - 1 $ 과 $ 2^s $ 인 특이점은 $ H(x,y) $ 가 유한체 확장에서 어떻게 인수분해되는지를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 함수 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 는 $ i $ 가 $ t $ 를 나누지 못할 경우, $ GF(2^m) $ 의 무한한 수의 확장체에서 APN이 아니다.
• 만약 $ H(x,y) $ 가 $ K = GF(2^m) $ 에서 기약이고 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ 이면, $ f $ 는 무한히 많은 수의 확장체에서 APN이 아니다.
• 만약 $ H(x,y) $ 가 기약이고 $ (t-i, s) = 1 $ 이면, $ f $ 는 무한히 많은 수의 확장체에서 APN이 아니다.
• GF(2^{10}) 에서의 희귀 APN 이항함수 $ x^3 + u x^{36} $ 는 최대 유한한 수의 확장체에서만 APN이 되며, 이는 $ H_u(x,y) $ 가 절대 기약임을 증명함으로써 밝혀졌다.
• 가족 $ x^{2^i+1} + u x^{2^{k+i} + 2^{(r-1)k}} $ (여기서 $ r=3,4 $) 는 $ i > 1 $ 일 경우, $ t = (r-1)k - i $ 가 $ i $ 를 나누지 못함으로써 무한히 많은 수의 확장체에서 APN이 아니다.
• 증명은 $ H(x,y) $ 가 $ GF(2^{30}) $ 에서 3개의 11차 인수로 분해된다면, $ K[x] $ 에서 53차 기약 인수가 존재한다는 것과 모순됨을 보여, 그러한 인수분해가 불가능함을 규명한다.