[논문 리뷰] Quadratic Exponential Semimartingales and Application to BSDEs with jumps

Nicole El Karoui, Anis Matoussi외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 점프와 유계가 아닌 종료 조건을 가진 역방향 확률미분방정식(BSDE)의 존재성 결과를 확립하기 위해 새로운 종류의 이차 지수형 반마르코프 과정을 도입한다. Barrieu와 El Karoui의 프레임워크를 점프-확산 모델로 확장함으로써, 지수형 점프 계수를 포함하는 일반화된 이차 성장 조건 하에서 존재성을 증명하며, 쌍대 표현과 비교 정리 방법을 사용한다.

ABSTRACT

In this paper, we study a class of Quadratic Backward Stochastic Differential Equations (QBSDE in short) with jumps and unbounded terminal condition. We extend the class of quadratic semimartingales introduced by Barrieu and El Karoui (2013) in the jump diffusion model. The properties of these class of semimartingales lead us to prove existence result for the solution of a quadratic BSDEs.

연구 동기 및 목표

• 종료 조건이 유계가 아닐 경우 점프를 포함한 이차 BSDE에 대한 존재성 결과가 부족한 문제를 해결한다.
• Barrieu와 El Karoui의 연속적 경우에 영감을 받아 점프 성분을 포함한 이차 반마르코프 과정의 클래스를 확장한다.
• 지수형 점프 항을 포함하는 일반화된 이차 성장 조건 하에서 해의 존재성을 확립한다.
• q_exp(l,c,δ) 구조 조건을 사용하여 해의 전방적 시각적 특성화를 제공한다.
• 해의 성장 제어와 수렴 보장 목적으로 쌍대 표현과 비교 정리 정리를 사용한다.

제안 방법

• 드라이버 f가 z와 u에 대해 지수형 표현으로 유계가 되는 q_exp(l,c,δ) 구조 조건을 정의한다.
• 기본 생성자 f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)를 도입하며, 여기서 j(δu)는 지수형 점프 행동을 기록한다.
• 엔트로피 과정 ρ_δ,t(η_T) = (1/δ)E[exp(δη_T)|F_t]를 기본 BSDE의 해로 사용한다.
• 지역 마르코프 측도 위에서의 최적화를 통한 쌍대 표현을 적용하여 해를 유계로 제한한다.
• 리프시츠 설정에서의 잘라내기와 비교 정리를 사용하여 근사 수열 (Y^{n,m})을 구성한다.
• 지수부등식을 활용하여 q_exp 구조 하에서 균일 적분 가능성과 안정성을 보이며 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종료 조건이 유계가 아닐 경우 점프를 포함한 이차 BSDE의 해 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 드라이버에 지수형 점프 성분을 포함하는 이차 성장 조건을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 점프와 유계가 아닌 종료 데이터가 존재할 경우 해의 존재성을 보장하는 구조 조건은 무엇인가?
• RQ4 해의 성장 제어를 위해 쌍대 표현 방법을 점프-확산 설정으로 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 기본 생성자 f = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)는 해를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 q_exp(l,c,δ) 구조 조건 하에서 점프와 유계가 아닌 종료 조건을 가진 이차 BSDE에 대해 해의 존재성을 확립한다.
• 해는 연속적 경우를 점프 과정으로 확장한 이차 지수형 반마르코프 과정으로 특성화된다.
• 엔트로피 과정 ρ_δ,t(η_T)는 생성자 f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)를 가진 기본 BSDE의 해를 제공한다.
• 지역 마르코프 측도 위에서의 최적화를 통한 쌍대 표현은 해에 대한 유계를 제공하며, 균일 적분 가능성을 보장한다.
• 잘라낸 근사값 (Y^{n,m})에 대해 비교 정리를 적용하여 수렴성과 존재성을 안정성에 기반해 증명한다.
• 해는 부등식 Y^{n,m}_σ ≥ ρ_σ[S^c_σ,T |ξ_T| + ∫_σ^T S^c_σ,s |l_s| ds]를 만족함으로써 엔트로피 기대를 통한 제어를 보여준다.