[논문 리뷰] Quantitative bounds for Gowers uniformity of the Möbius and von Mangoldt functions

Terence Tao, Joni Teräväinen|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 05.

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한 줄 요약

이 논문은 모비우스 함수와 반 망골트 함수의 고우어스 균일성 노름에 대해 효과적이고 정량적인 경계를 확립하며, 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 형태의 오차 항을 얻는다. 이러한 경계는 소수에서 유한 복잡도를 가진 선형 체계의 해의 수에 대한 첫 번째 정량적 제어를 가능하게 하며, 이동된 소수 차이를 가진 $ k $-항 산술적 등차수열을 포함하지 않는 집합의 크기에 대한 첫 번째 효과적인 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We establish quantitative bounds on the $U^k[N]$ Gowers norms of the Möbius function $μ$ and the von Mangoldt function $Λ$ for all $k$, with error terms of shape $O((\log\log N)^{-c})$. As a consequence, we obtain quantitative bounds for the number of solutions to any linear system of equations of finite complexity in the primes, with the same shape of error terms. We also obtain the first quantitative bounds on the size of sets containing no $k$-term arithmetic progressions with shifted prime difference.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 모비우스 함수와 반 망골트 함수의 $ U^k[N] $ 고우어스 균일성 노름에 대한 효과적이고 정량적인 경계를 확립하는 것.
• 이전의 비효율적이거나 정성적인 결과를 향상시켜 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 형태의 명시적 오차 항을 제공하는 것.
• 이러한 경계를 적용하여 소수에서 유한 복잡도를 가진 선형 체계의 해의 수에 대한 정량적 점근적 해를 도출하는 것.
• 이동된 소수 차이를 가진 $ k $-항 산술적 등차수열을 포함하지 않는 집합의 크기에 대한 첫 번째 효과적인 정량적 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 반 망골트 함수의 주요 항으로서 $ w = \log^{1/100}N $ 인 크라멜 모델 $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $ 를 사용하여 난수성의 제어.
• 원 방법과 지수 합 추정, 플랑커렐 항등식을 조합하여 $ U^k[N] $ 노름을 제어하는 데 응용.
• 고우어스 노름의 역 추측과 모비우스 함수의 닐시퀀스에 대한 강한 수직성의 활용.
• 니르만포드에서 다항식 수열의 분해 정리로 곱셈 함수를 구조적 성분과 무작위 유사 성분으로 분해.
• 고우어스 노름의 삼각 부등식과 안정성 추정을 사용하여 $ \Lambda $ 와 그 크라멜 근사치를 비교.
• 체르르 이론적 기법과 모비우스 가짜난수성 원리로 $ U^k $ 노름 내 오차 항을 제어하는 데 응용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 고우어스 균일성 노름 $ \|\mu\|_{U^k[N]} $ 과 $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} $ 에 대해 효과적이고 정량적인 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 경계에서 달성 가능한 최선의 오차 항은 무엇이며, $ O((\log\log N)^{-c}) $ 형태로 만들 수 있는가?
• RQ3 이 경계들을 사용하여 소수에서 유한 복잡도를 가진 선형 체계의 해의 수를 정량적으로 제어할 수 있는가?
• RQ4 이동된 소수 차이를 가진 $ k $-항 산술적 등차수열을 포함하지 않는 집합의 크기에 대해 첫 번째 효과적인 정량적 경계를 얻을 수 있는가?

주요 결과

• $ k \geq 1 $ 에 대해 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해 $ \|\mu\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $ 와 $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $ 를 확립하며, 이는 $ k $ 에 따라 달라지는 효과적인 상수를 포함한다.
• 이 경계들은 소수에서 유한 복잡도를 가진 선형 체계의 해의 수에 대해 처음으로 효과적인 오차 항 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 를 제공한다.
• 논문은 $ p $ 가 소수일 때 형식 $ p-1 $ 의 차이를 가진 $ k $-항 산술적 등차수열을 포함하지 않는 $[N]$ 의 부분집합의 크기에 대한 첫 번째 정량적 경계를 도출한다.
• 결과들은 모비우스 함수의 닐시퀀스에 대한 강한 수직성과 고우어스 노름의 역 추측의 해결에 기반한다.
• 오차 항 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 는 효과적이며, 지수 합 추정, 체르르 이론, 원 방법의 조합으로 발생한다.
• 분석 결과, 반 망골트 함수는 $ w = \log^{1/100}N $ 인 크라멜 모델 $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $ 로 $ 제시된 오차 범위 내에서 잘 근사됨을 보여준다.